文档介绍：实对称矩阵的特征值和特征向量
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由于，
对最后一式取复数转置，
得到
两边再右乘，
得到
所以有
特征值都是实数。
这样，是实数。
由的任意性，
实对称矩阵的
特征向量都是实数向量。
附注：
进一步地有，
实对称矩阵
的属于特征值的
一、实对称矩阵特征值的性质
实对称矩阵
的特征值都是实数。
第二页
对上面第一式两边左乘，
的特征向量。

实对称矩阵
的属于不同
特征向量相互正交。
证明：
特征值的
设，
是实对称矩阵的不同特征值，
，
分别是属于特征值，
于是
，
得到
（）
而
于是有
这样，由得到
是正交的。
，即
与
第三页
特征向量相互正交的线性无关组。
【注】
实对称矩阵
的属于不同特征值的
向量和对应特征向量
在§，
例1
矩阵
是实对称矩阵，
特征值（二重）
对应特征
都正交。
把它们化为标准正交组。
当然，
彼此不正交，
但可以通过
标准正交化方法
第四页
为矩阵。
把分块为，
也是的属于的

设
是阶
实对称矩阵,
则
存在正交阵
, 使为对角阵.
下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。
证明：
对矩阵
的阶数
用数学归纳法。
当时,
定理结论显然成立.
假设对于所有
阶实对称矩阵来说定理成立。
故不妨设是单位向量，
设
是的一个特征值，
是属于特征值的
特征
向量,
显然单位向量
特征向量.
第一列任意正交矩阵。
记
是以为
其中
第五页
则
及与的各列向量都正交，
注意到
根据归纳法假设，
其中
为阶实对称矩阵。
使得
对
存在阶正交矩阵
所以
第六页
并且
令，
则
均为阶正交矩阵，
这表明
阶实对称矩阵定理结论成立。
为对角矩阵。
根据数学归纳法原理，
对任意
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对每个 ,
其中为重的，
二、实对称矩阵对角化方法
具体步骤如下:
，
任意一个实对称矩阵都可以对角化。
求出的所有特征值,
第一步
对给定实对称矩阵，
解特征方程，
设的所有不同的特征值为
；
第二步
解齐次线性方程组
求出它的一个基础解系；
得到正交向量组，
第三步
利用施米特正交化方法，
把
正交化，
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再把单位化，
得到一个
标准正交组，；
注意：
它们都是属于
的线性无关特征向量！！
且
第四步
令，
则
是正交阵,
为对角阵，
与中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。
附注：
矩阵
主对角线元素（特征值！）排列顺序
（实对称矩阵A 的标准形！！）
在不计排列顺序情况下，
这种对角化形式
是唯一的。
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例2 对矩阵
求一正交阵 ,
使
成对角矩阵。
的特征多项式为
解：
矩阵
解特征方程得特征值（二重），。
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