文档介绍：.
精选文档.
第四章矩阵
），2），
计算，。
解 1），
2）
，
其中
，，
，，
，，

，
，
.
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解。
。
采用数学归纳法，可证
。
事实上，当时，有
，
结论成立。
当时，归纳假设结论成立，即
于是当时，有
，
即证成立。
4）采用数学归纳法，可证
，
事实上，当时，有
，
结论成立。
当时，归纳假设结论成立，即
.
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，
于是当时，有

，
其中
，
同理可得
，，，
因而有
。
5），。
6）

。
7）注意到
，
这意味着，若令
.
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，

分两种情形讨论
①为偶数，即，于是
，
②为奇数，即，于是
，
故
。
8）采用数学归纳法，可证
，
事实上，当时，结论显然成立，现在归纳假设
，
于是
，
.
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，
即证结论成立。
，是一个矩阵，定义
。
1），；
2），，
试求。
解 1）
。
2）。
，矩阵就称为与可交换，设
1） 2）
3）
求所有与可交换的矩阵。
解 1）若记，并设与可交换，即
.
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，
于是
，
所以
，
故任意，从而所有与可交换的矩阵为，其中为任意常数。
2）同理，记并设与可交换，即
于是
，
所以
，
比较对应的元，可得
，，，
，，，
于是所有与可交换的矩阵为
，
其中为任意常数。
.
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3）设与可交换，即
，
于是
，
故得
,,。
所以所有与可交换的矩阵为
，
其中为任意常数。
其中（当时）（），证明：与可交换的矩阵只能是对角矩阵。
证设与可交换，于是由
，
有
，
.
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即（当时）.有因为，所以。于是，与可交换的矩阵只能是对角矩阵
。
，
其中（当时）（），是阶单位矩阵，证明：与可交换的矩阵只能是准对角矩阵
，
其中是阶矩阵（）。
证设
与可交换（其中是阶矩阵），则由，可得
当时，由及，因而必有。
于是，与可交换的矩阵只能是准对角矩阵
，
其中是阶矩阵（）。
.
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表示行列的元素（即元）为1，而其余元素全为零的矩阵，而．证明：
1）如果，那么当时，当时；
2）如果，那么当时，当时，且；
3）如果与所有的阶矩阵可交换，那么一定是数量矩阵，即。
证 1）因为
，
所以
，。
即当时，当时。
2）因为
列
行
所以当时，当时且。
3）与任何矩阵相乘可交换，必与相乘可交换，于是由得
（），
因此是数量矩阵。
，证明：
。
证，
。
，证明：当且仅当。
证，因为
.
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，所以。
，则，即，即证。
为对称的，：如果是实对称矩阵，且，那么。
证设
，
则
。
由有
，
因而必有
，
即证。
都是对称矩阵，证明：也对称当且仅当可交换。
证当时，有
，
所以是对称矩阵。
反之，当时，有
。
称为反对称的，如果，证明：任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。
证设是任一矩阵，因为，
且是对称矩阵，是反对称矩阵，所以结论成立。
.证明：