文档介绍：第四章 矩阵
〕，2〕，
计算，。
解 1〕 ，
2〕
，
其中
， ，
， ，
， ， 矩阵，证明：与可交换的矩阵只能是准对角矩阵
，
其中是阶矩阵〔〕。
证 设
与可交换〔其中是阶矩阵〕，则由，可得
当时，由及，因而必有。
于是，与可交换的矩阵只能是准对角矩阵
，
其中是阶矩阵〔〕。
〔即元〕为1，而其余元素全为零的矩阵，而．证明：
1〕如果，那么当时，当时；
2〕如果，那么当时，当时，且；
3〕如果与所有的阶矩阵可交换，那么一定是数量矩阵，即。
证 1〕因为
，
所以
，。
即当时，当时。
2〕因为
列
行
所以当时，当时且。
3〕与任何矩阵相乘可交换，必与相乘可交换，于是由得
〔〕，
因此是数量矩阵。
，证明：
。
证 ，
。
，证明：当且仅当。
证 ，因为
，所以。
，则，即，即证。
，：如果是实对称矩阵，且，那么。
证 设
，
则
。
由有
，
因而必有
，
即证。
，证明：也对称当且仅当可交换。
证 当时，有
，
所以是对称矩阵。
反之，当时，有
。
，如果，证明：任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。
证 设是任一矩阵，因为，
且是对称矩阵，是反对称矩阵，所以结论成立。
：
证 由题设知
。
，证明：存在一个非零矩阵使的充分必要条件是。
证 ，则齐次方程组有非零解
，
只要取
即可。
，使，这里是的列向量。不失一般性，设，则由，得
。
因此，，即有非零解，从而
。
，如果对任一维向量都有，那么。
证 证法1 由题设知，维向量空间中的所有向量都是齐次线性方程组的解，故方程组的基础解系含有个线性无关的解向量，所以，即证。
16设为一矩阵，为矩阵，：
如果，那么；
如果，那么。
证 1〕假设，设，，因，不失一般性，可设
。
由，得
因为该齐次方程组的系数行列式不等于零，故它只有惟一零解，即
，
因而。
假设，则
，
由1〕知，因此。
：
。
证 设，，则
。
假设与分别是与的列向量组的极大线性无关组，则有
于是
，
即的列向量组可由线性表出，故
。
，证明：如果，那么
。
证 设的列向量组为，则
，
故有
。
即方程组有组解。
假设，则可由个线性无关的解向量线性表出，于是。因此
。
：如果，那么
。
证
。
即证
。
，设
，
解 1〕。
2〕对作行初等变换，有
，
所以
。
3〕对作行初等变换，可得
，
所以
。
4〕对作行初等变换，可得
，
所以
。
5〕对作行初等变换，有
，
所以
。
6〕对作行初等变换，有
，
所以
。
7〕因为，所以
。
8〕对作行初等变换，有
。
9〕因为
且，所以
。
10〕因为
，
所以
。
，
已知存在，求。
解 设，则。
因此
，
左乘，得
， ，
又由于
， ，
左乘得
， ，
故
。
，
其中，求。
解 记，其中
则
。
而
，
故
。
，设
，
，
，
。
解 1〕。
2〕。
3〕
。
4〕。
：1〕如果可逆对称〔反对称〕，那么也对称〔反对称〕；2〕不存在奇数阶的可逆反对称矩阵。
证 1)假设，则
。
2〕由，知
，
所以当为奇数时，有
，
故不可逆。
〔下〕三角矩阵，如果当时有。证明：
1〕两个上〔下〕三角形矩阵的乘积仍是上〔下〕三角矩阵；
2〕可逆的上〔下〕三角矩阵的逆仍是上〔下〕三角矩阵。
证 1〕设
，，
假定
，
其中
，
当时，显然中各项均有因子为零，故，所以是上三角矩阵。
对于是下三角阵情形同法可证。
2〕令，设是的逆，即，比