文档介绍：: .
定积分应用与二重积分方面的题
1.
已知曲线y = x(4-x)与】轴围成一平面图形(1)求该平面图形的面积
(2)求该平面图形绕F轴旋转一周所得的旋转体的体积
f 4 1^4 32
解：(1) S = | x(4-x)Jx = (2x"—r )1 *=— Jo 3 3
(2)由 y = x(4-x),得(尤-2尸=4一 y,4 = 2± J4 - y
v =勿 J j(2 + 旺5) 2 — (2 — y/4^)2 ]dy
=可：8皿二崭/)，= -y^(4-yy lo= ¥万
2.
已知曲线＞» = y(x)(x》o过原点和(2,3)点，且当工＞0时，y'(x)＞点以外的任一点p(x,y)作两条直线L，心分别平行于y轴和X轴，设匕与X轴和曲线围成的平面图形面积为S|是右与)'轴和曲线围成的平面图形面积为S2的两倍.
(1) 求面积s的表达式；
(2) 求该曲线方程.
『x 2
解：⑴ 由 $=2',§+&=个得 s,=e.
(2) J)ydx = & D，两边对 x 求导有 2xyz = y
2 i
于是—dy = — dx ,因此 y = ex;
y x
o q
由 x = 2, y = 3,所以 c =—，故 y2 = —x;
因为当 x>0时，yz = /z(x)>0,因此 y = (y =-全色舍),
故所求曲线方程为y = 也2 J7.
2
由y = Cx2+x, x = \, x = 2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的
旋转体体积为
v(c) = [2 )2 —c2 +—c+-"I 于是— = ^—c+—]
75
124
学＞。.知c =—令是
1 5 2 3y dC \ 5 2)
令 —=0，得驻点C = 一史，由V
dC 124
75
惟•极小值点，因此也是最小值点，故所求曲线为y = -^x2 +x .
己知/(X)的图形过点(0,3), f'(x)的图形是过点(1,0)且不平行于坐标轴的直线，2
是/(x)的极值。
(1) 求/'(X)的表达式；
(2) 求/(x)的图形与直线y = 3所围成的平面图形绕)，轴旋转一周而成的旋转体的体积。
)由题意设/•'(x) = A(x — l)(其中常数&。0), 于是/(x) = jk(x — l)dx = k(' x -x) + C 因为的图形过点(0,3),所以C = 3
于是 f (x) = k(q x~ — x) + 3
因为2是/(x)的极值，且由f\x) = k(x-l)知x = 1是f(x)的唯一极值点，
所以 /(l) = Jl(|l2-l) + 3 = 2,于是 k = 2 故 /(-V)= x2 -2x4-3
)由 y = x2-2x + 3,即 y = (x-l)2+2,得 x = }±^y-2
故 V =刀 j,[(l + J7克)2 -(1-序克)2 ]内
.解：(1)设P(x,y)为曲线上任意一点，则该点的切线在X轴，y轴的截距分别为2x ,
2y,且切线斜