文档介绍：1．（本小题满分12分）已知圆柱底面半径为1，高为，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示．将轴截面ABCD绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点P．
(1) 求曲线长度；
(2) 当时，求点到平面APB的距离；
(3) 是否存在，使得二面角的大小为？若存在，求出线段BP的长度；
若不存在，请说明理由．
解法一：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线就是对角线BD。由于，,所以这实际上是一个正方形.
所以曲线的长度为.
（2）当时，点恰好为AB的中点，所以P为中点，故点到平面APB的距离与点到平面APB的距离相等。
连结AP、BP，OP.
由且知：平面APB.
从而平面平面APB。
作于H，则平面APB。
所以，即为点到平面APB的距离。
在中，，
所以。于是：
。所以，点到平面APB的距离为。
（3）由于二面角为直二面角，故只要考查二面角是否为即可。
过作于Q，连结PQ。
由于，，所以平面，
所以。
于是即为二面角的平面角。
在中，。
若，则需，即。
令，则，
故在单调递减。所以，即
在上恒成立。故不存在，使。也就是说，不存在，使二面角为。
解法二：如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，过O与OB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系。则，。由于，所以，，于是，。
（1）同解法一；
（2）当时，，，所以是平面APB的一个法向量。
又，，所以点到平面APB的距离为。
（3）设是平面APB的一个法向量，则，
取。
又是平面DAB的一个法向量。
由得：。以下同解法一。
2. （本小题满分12分）
(第17题图)
如图所示，四棱锥的底面为等腰梯形，且，，其侧棱长均为，为棱的中点.
(1)设的中点为，连，证明平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解】（1）平面.…………6分
(2)取的中点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，设面的法向量为，则，令
，取，则，.……………………12分
3.(本题满分12分)
如图，正方形ABCD的边长为2，将四条边对应的等腰三角形折起构成一个正四棱锥P-ABCD.
（1）当Q为PC的中点时，证明PA//平面BDQ；
（2）当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线PA与BC所成的角为60o;
（3）当侧棱与底面所成的角为60o时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值。
4．（本小题满分14分）
如图，矩形ABCD中，AB =a，AD =b，过点D作DE⊥AC于E，交直线AB于F。现将△ACD沿对角线AC折起到△PAC的位置，使二面角P－AC－B的大小为60°．过P作PH⊥EF于H。
（I）求证：PH⊥平面ABC；
（Ⅱ）若a= ，求直线DP与平面PBC所成角的大小；
（Ⅲ）若a+b=2，求四面体P－ABC体积的最大值．