文档介绍：第4章工业机器人的运动轨迹规划
4. 1路径和轨迹
机器人的轨迹指机器人末端执行器在运动过程中的位移、速度和加速度。路径是机器人位姿的一定序列，而不考虑机器人位姿参数随时间变化的因素。如图4-1所示，如果有关机器人从A点运动到B点，再到C点，那么这中间位姿序列就构成了一条路径。而轨迹则与何时到达路径中的每个部分有关，强调的是时间。因此，图中不论机器人何时到达B点和C点，其路径是一样的，而轨迹则依赖于速度和加速度，如果机器人抵达B点和C点的时间不同，则相应的轨迹也不同。我们的研究不仅要涉及机器人的运动路径，而且还要关注其速度和加速度。
图4-1机器人在路径上的依次运动
4. 2轨迹规划
轨迹规划是指根据作业任务要求确定轨迹参数并实时计算和生成运动轨迹。轨迹规划的过程为：
对机器人的任务，运动路径和轨迹进行描述。
根据已经确定的轨迹参数，在计算机上模拟所要求的轨迹。
对轨迹进行实际计算，即在运行时间内按一定的速率计算出位置、速度和加速度，从而生成运动轨迹。
在规划中，不仅要规定机器人的起始点和终止点，而且要给出中间点（路径点）的位姿及路径点之间的时间分配，即给出两个路径点之间的运动时间。
轨迹规划既可在关节空间中进行，即将所有的关节变量表示为时间的函数，用其一阶、二阶导数描述机器人的预期动作, 也可在直角坐标空间中进行，即将手部位姿参数表示为时间的函数,而相应的关节位置、速度和加速度由手部信息导出。

假设机器人的初始位姿是已知的，通过求解逆运动学方程可以求得机器人期望的手部位姿对应的形位角。若考虑其中某一关节的运动开始时刻耳的角度为0,希望该关节在时刻竽运动到新的角度0。轨迹规划的一种方法是使用多项式函数以使得初始和末端的边界条件与已知条件相匹配，这些已知条件为0•和％及机器人在运动开始和结束时的速度，这些速度通常为0或其他已知值。这四个已知信息可用来求解下列三次多项式方程中的四个未知量：八/、 9 3
&+ C］》++ C^t (4-1)
Q(/) — q +2心2》+3心3》2 (4-3)
这里初始和末端条件是:
(4-2)
&亿)二 0 0(tf) = 0f 血)二0
如)=0
对式(4-1)求一阶导数得到：
将初始和末端条件代入式(4-1)和(4-3)得到：
0(ti) — cG = Oi
0(tf ) = co + C\tf + cp； + C3tf 处)二 C] =0
)二 C] + 2c2七f + 3c3片—0
通过联立求解这四个方程，得到方程中的四个未知的数值, 便可算出任意时刻的关节位置，控制器则据此驱动关节到达所需的位置。尽管每一关节是用同样步骤分别进行轨迹规划的, 但是所有关节从始至终都是同步驱动。
设有一单自由度旋转关节的操作臂，处于静止状态时&亿） = 15。，要在3秒内平稳运动到终止位置了（》= 75。,并且在终点时的速度为零。求运动轨迹的三次插值函如。
2过路径点的三次多项式插值
将速度约束条件变为：
5(0) =3o[
・・r (4-4)
0(— ) = ° f j
重新求得三项式的系数:
ax = e o
(4-5)
3 2 • 1 •
1 f r f 1 f
2 1 •
= — (&f — &o ) H (O o + & 于)
t f 1 f
2过路径点的三次多项式插值
确定路径点上关节速度的三种方法
根据手部坐标在直角坐标空间中的瞬时线速度、和角速度来确定。
采用适当的启发式方法，由控制系统自动地选择路径点的速度。
为了保证每个路径点上的加速度连续，由控制系统按此要求选择路径点的速度。