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复数
一、复数的概念
.虚数单位i
(1)它的平方等于 1,即i2 1 ；
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律.
i 的乘方：i4n 1,i4n 1 i,i 4n 2 1,i4n 3 i, n N*,它们不超出 bi 的形式.
.复数的定义
形如a bi(a,b R)的数叫做复数， a,b分别叫做复数的实部与虚部
3,复数相等 a bi c di,即a c,b d ,那么这两个复数相等
.共钝复数 z a bi时，z a bi .
性质：z z； z1 z2 z1 z2 ； z1 z2 z1 z1 ； (W)且(z2 0);
Z2 z2
二、复平面及复数的坐标表不

在直角坐标系里，点 z的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z a bi可用点Z(a,b)来
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴为实轴，y轴出去原点的
部分称为虚轴.
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3,复数的向量表不
点 Z(a,b)
uuu 向量OZ .
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4,复数的模
在复平面内，复数z
uur
a bi对应点Z (a,b),点Z到原点的距离 OZ叫做复数z的模,
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记作z .由定义知，z 7a2—b2 .
三、复数的运算
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(a bi) (c di)
(a c) (b d)i .
几何意义：设乙 a bi对应向量
UULU UUUU
OZi (a,b), Z2 c d i 对应向量 OZ2 (c,d),则
UULU UUUU
Zi Z2对应的向量为。乙OZ2
(a c,b d).因此复数的和可以在复平面上用平行四边
形法则解释.

(a
bi) (c d i)
(a
c) (b d)i .
几何意义:
设Zi
uiuui
a bi对应向量OZ1
UULU (a,b), Z2 c d i 对应向量 OZ2 (c,d),则
Zl Z2对应的向量为
uuiu
OZi
uuuu
OZ2
uuur
Z2乙
(a c,b d).
Zi Z2 (a
c)
(b
d)i
..(a
c)2 (b
d)2表示Zi、
Z2两点之间的距离，也
UiUir
等于向量乙Z2
的模.
3.
乘法
bi
di
d i.
4.
乘方
(Zm)n
mn
Z
(Zi Z2)n
n
Zi
n
Z2
5.
除法
a bi
c di
a bi
c di
bi
c di
c di c di
ac bd bc ad i
2 S2
c d
6.
复数运算的常用结论
(1)
(a bi)
2abi
(a bi)(a bi) a
b2
(2)
(i i)2
2i , (i
i)2
2i
(3)
(4)
Zi Z2
Zi
(5)
(6)
Z)
Z2
(7)
Zi Z2
Zi
Z)
幺
Z2
幺
Z2
Z2
Z)
Z2
Zi Z2
Z2
四、复数的