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1、复数的概念
复数,其中,叫做虚数单位.
2、复数的分类
3、两个复数相等
定义:如果两个复数和的实部与虚部分别相等,即,那么这两个复数相等,记作.
只有当两个复数都是实数时,才能比较大小;当两个复数不都是实数时,只有相等与不相等两种关系,不能比较大小.
4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。复平面中,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上,原点表示实数0。
5、复数的向量表示
6、复数的模
复数模(绝对值)的定义,几何意义:
复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离。
|z|=|a+bi|=.
[说明],所以实数绝对值是复数模的特殊情形。当且仅当a=b=0时,|z|=0
7、复数的四则运算性质:
1)、加法:
2)、减法:
3)、乘法:
4)、除法:(目的:分母实数化)
[要点说明]①计算结果一律写成的代数形式;
②复数的加法满足交换律、结合律;
③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律;
交换律:
结合律:
分配律:
④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即
8、i的整数指数幂的周期性特征:
;
9、的几何意义:
设
则
几何意义:对应复平面上点两点间距离
10、共轭复数
1)定义:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这样的两个复数叫做互为共轭复数,记为
问题:当时,是否有共轭复数?两者关系如何?
2)运算性质:结论可推广到n个
3)模的运算性质:①;
②,可推广至有限多个,特别地
③ ④,特别地,当时,即.
11、复数的平方根:
在复数集C内,如果满足:,
则称是的一个平方根.
从运算结果可以看出,一个非零复数的平方根有两个,且互为相反数.
12、复数的立方根
设,则:
13、实系数一元二次方程根的情况
1)
①;②;
③.
2),
3);