矩阵分析(1).ppt

文档介绍：问题:这几个子空间的基底与维数分别是什么? 例 5 矩阵的特征子空间设为一个阶矩阵, 为矩阵的一个特征值, 那么矩阵的属于特征值的全部特征向量构成的集合也是或者的一个子空间子空间的交,和与直和设和是线性空间的两个子空间,我们称为这两个子空间的和, 进一步,如果,那么称和为直和,并将其记为 V ?A n? A A? nR nC 1V 2V V 1 2 V V ? 1 2 0 V V ?? 1 2 V V ? 1 2 V V ?维数公式设是一个有限维线性空间,对于的任意两个子空间和,我们有 1V V 2V V 1 2 1 2 1 2 dim( ) dim( ) dim dim V V V V V V ? ? ???关于子空间直和的几种等价刻划定理设是线性空间的两个子空间和的直和,那么下列叙述是等价的: (1)是直和(2) (3)设是的一组基, 是的一组基,则, 是的一组基 1V 2V V 1 2 U V V ? ? 1 2 1 2 dim( ) dim dim V V V V ? ? ? 11 ,....., n ? ? 1V 21 ,....., n ? ? 2V 11 ,....., n ? ? 21 ,....., n ? ? 1 2 U V V ? ? 1 2 U V V ? ?(4)的任意一个向量,可以唯一地表示为,其中 1 1 , v V ? 1 2 u v v ? ? 1 2 U V V ? ? u U ? 2 2 v V ?第三节线性映射线性映射的定义线性变换线性函数线性映射的例子线性映射的矩阵表示设是的一组基, 是的一组基。是一个线性映射,那么 1 ,....., n ? ? 1V 1 ,....., m ? ? 2V 1 2 : f V V ? 1 ( ) ( 1, 2,...., ) m j ij i i f a j n ? ??? ??于是有称其为线性映射在基与基下的矩阵表示。线性映射的坐标变换公式 1 1 ( ,......, ) ( ,....., ) n m f A ? ????f 1 ,....., n ? ? 1 ,....., m ? ? 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 ...... ... ... ... ... ... ... ... nn m m m mn n y a a a x y a a a x y a a a x ? ?? ???? ?? ???? ?? ????? ?? ???? ?? ???? ?? ???线性映射与矩阵之间的一一对应关系线性映射在给定基下的矩阵表示是唯一的,反之,给定一个矩阵,那么存在唯一的一个线性映射,它在这两个基下的矩阵表示为。如何求一个线性映射在给定两个基下的矩阵表示? 线性映射的矩阵表示求法。一个线性映射在不同基下对应的矩阵之间有何关系?怎样选择一对基,使得线性映射在这对基下的矩阵表示尽可能简单? f A m n ?( ) ij m n A a ??fA 定理设是一个线性映射, 与是的两组基,由到的过渡矩阵为,与是的两组基,由到的过渡矩阵为,在基与基下的矩阵表示为,在基与基下的矩阵表示为,那么 1 2 : f V V ?1 ,....., n ? ?' ' 1 ,....., n ? ? 1V i?'i? P 1 ,....., m ? ?' ' 1 ,....., m ? ? 2V j?'j? Qf 1 ,....., n ? ? 1 ,....., m ? ? A f ' ' 1 ,....., n ? ?' ' 1 ,....., m ? ? B 第四节线性映射的值域与核值域设是线性