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硕士学位论文
论文题目对亚正定矩阵理论和广义正定矩阵理论中若干问题的
进一步研究
学科专业名称
申请人姓名
基础数学
杏j圬禧
导师姓名
咖t芗
教授
论文提交时间
2005年4月矿日
绍敛公若.”。
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独创声明
本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究
成果。据我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经
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学位论文作者签名:李纷禧
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学位论文作者签名:喜豫蒋
签字日期:2005年斗月守日
导师签字:冶孝
签字日期:2005年手月矿日
一字哲膨
山东师范大学硕士学位论文
对亚正定矩阵理论和广义正定矩阵理论中若干问题的进一步研究
李衍禧
(iS坊学院数学系,潍坊,山东,261041)
摘要
[1]中提出了未必对称的正定矩阵的概念(对任何
0≠X∈R“’,都有X7AX>0),并得到了这种正定矩阵的某些不等式。1:1984年,佟
文廷教授在[5]中提出了%类广义正定矩阵的概念(存在正对角矩阵D,使得对任何
0≠Ⅳ∈R”1,都有Ⅳ7DAX>0),并得到了%类广义正定矩阵的一些性质:1990年屠
伯埙教授提出了亚正定矩阵的概念(A+A7为对称正定矩阵),并建立了较为系统的亚
正定理论”1巾1.
本文介绍近些年来形成的亚正定矩阵理论、广义正定矩阵理论中的基本概念和基
本理论,对亚正定矩阵理论中的若干不完善定理进行了修正和推广,并对广义正定矩
阵理论作了深入研究,
和广义正定矩阵理论的完善和扩展.
本文得到的主要结论有:
(1)定理14(广义Minkowski不等式的加细)
设A是"阶(n≥2)非零亚半正
定阵,B是n阶实对称正定阵,A对B的广义复特征值为2s个(o≤ss昙),则
1)s>O时,存在一组正实数/4,~‰,H・鸬…‰=1,使得
阻曰陲i=i(州;+IBli—r-"≥阵+睇
且等号都成立当且仅当A对B的广义特征值(即B-IA的特征值)全为
±bi,i=√一1,b>0(b为常数).
2)s=O时,即A对B的广义特征值全是实数,则存在一组正实数肚,…,以,
∥。…卢。=1,使得
lA+BI;≥兀∞,l彳l:+l口卜)”≥l爿1i+I占F
山东师范大学硕士学位论史
且等号都成立当且仅当A对B的广义特征值全相等.
(2)定理15(Kyfan型不等式)
设一是n阶(,l≥2)k一局部完全对称的非零
亚半正定阵,B是n阶实对称正定阵,又设
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A。,B,(1≤m≤k)分别为A。,Bk的相同位置的
主子阵
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噎L叫
冬占则
I(彳+B)I(A+占),I“≥IA/AmI“+1B/B,io
(3)定理17(局部亚正定阵的广义Hadamard不等式)设A=(%)…,口ll>o,A
关于all的Shur补A/(a11)是亚正定阵,且满足
1)aika茸=口且a“,
f,J>七,k=1,2,…,玎一1.
2)atkaH≥0,i>J|},k=1,2,・一,,l一1.
则:
lAI≤all口::…Ⅱ.。
且等号成立当且仅当‰d“=0,i>尼,k=1,2,…,n一1.
(4)定理31(%类广义(半)正定阵的广义Oppenheim不等式)设A是n阶实
对称正定阵,B2也^。.是%类广义(半)正定阵,则
阻。剧≥l彳。半l+I彳。里二兰乏叫≥I一。华|≥J纠-岛。・-・吒。
(5)%(%)类广义正定矩阵的特征值分布性质、子矩阵结构定理及它们的
Hadamard积与Kronecker积正定性的充要条件.
关键词:对称正定