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相似矩阵与相似对角化.ppt

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相似矩阵与相似对角化.ppt

上传人:文库新人 2021/11/23 文件大小:1.95 MB

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相似矩阵与相似对角化.ppt

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文档介绍

文档介绍:相似矩阵与相似对角化
*
第一页,课件共25页
性质1:
相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、
相同的行列式、相同的迹、相同的秩
推论:若矩阵 与对角阵 相似,
则 是 的 个特征值。
*
第二页,课件共25页
(1)
相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆。
当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。
其它的有关相似矩阵的性质:
(3)
若 与 相似,则 与 相似。( 为正整数)
(5)
(6)
( 为任意常数)
(2)
若 与 相似,则 与 相似。( 为正整数)
(4)
若 与 相似,而 是一个多项式,
则 与 相似。
*
第三页,课件共25页
(2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
注: (1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身,
与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。
三. 矩阵可对角化的条件(利用相似变换把方阵对角化)
对 阶方阵 ,如果可以找到可逆矩阵 ,
使得 为对角阵,就称为把方阵 对角化。
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第四页,课件共25页
定理1: 阶矩阵 可对角化(与对角阵相似)
有 个线性无关的特征向量。
(2)可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量
作列向量构成。
(逆命题不成立)
推论:若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,
则 可对角化。(与对角阵相似)
注:(1)若 则 的主对角元素即为 的特征值,
矩阵 的相似标准形。
如果不计 的排列顺序,则 唯一,称之为
*
第五页,课件共25页
例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵?
解:

*
第六页,课件共25页
得基础解系
当 时,齐次线性方程组为
当 时,齐次线性方程组为
*
第七页,课件共25页
得基础解系
线性无关
即A有3个线性无关的特征向量,所以A可以对角化。
*
第八页,课件共25页
得基础解系
所以 不能化为对角矩阵.
当 时,齐次线性方程组为
*
第九页,课件共25页
解:
例2:设
若能对角化,求出可逆矩阵 使得 为对角阵。
问 能否对角化?
*
第十页,课件共25页