文档介绍：矩阵分析基础第1章线性空间与线性变换在线性代数中我们已经学过线性空间和线性变换的概念, 因此在本章的 ~ 节中仅对线性空间和线性映射的概念作简单介绍, 节讲解子空间的概念. 线性空间及其性质定义 设V 是一个非空集合,F 是一个数域,称V 为按所定义的运算构成 F 上的线性空间( 简称 V为F 上的线性空间或向量空间), 如果(1) 在V 中定义了加法,使对于任意的α, β∈ V ,存在唯一的元素γ∈ V 与之对应,称为α与β的和,记作α+β=γ; (2) 在V 中定义了数乘, 使对于任意的α∈ V 及任意λ∈ F, 存在唯一的元素δ∈ V 与之对应,称为λ与α的积,记作δ=λα; (3) 所定义的加法与数乘合起来是线性运算,即这两种运算满足运算法则①α+β=β+α;②(α+β)+γ=α+(β+γ); ③在V 中存在零元素,以0 表示, 使对于任何α∈ V, 都有α+0= α; ④对任何α∈ V 都有β∈ V ,使α+β=0 ,称β是α的负元素; ⑤存在单位数 1∈F ,使得 1α=α; ⑥λ(μα)=( λμ)α; ⑦λ(α+β)=λα+ λβ; ⑧(λ+μ)α=λα+ μα; 其中α,β, γ∈ V;λ, μ∈ F. 数域 F 上的线性空间 V 记为 V(F), V 中元素不论其本来的性质为何, (1) 这里的向量不一定是有序数组; (2) 这里的单位数 1 不一定是实数 1 ,它与所定义的运算有关. 例 次数不超过 n 的实系数多项式全体记为 P[x]n ,即 P\ n={p n|p n=a nx n+a n-1x n-1+ …+a 1x+a 0,a n,…,a0∈R },则P[x]n 按着通常的多项式加法及数与多项式的乘法构成线性空间. 这是因为 P[x]n 对于上述两种运算显然是封闭的且满足 8 条运算律,所以 P[x]n是R 上的线性空间. 例 正实数全体记作 R+ ,即 R +={a|a>0, a∈R }, 在R+ 中定义加法及数乘为 ab def ab, λa def aλ, 其中 a,b ∈R +, λ∈ R. 证明 R+ 对上述加法和数乘构成R 10条. 对加法的封闭性: 对于任何 a,b ∈R+,有a b=ab ∈R +; 对数乘的封闭性: 对于任何λ∈ R ,a∈R+ ,有λ a=a λ∈ R +; (1) a b=ab=ba=b a; (2) (a b) c=(ab) c=(ab)c=a(bc)=a (bc)=a (b c); (3) 在R+ 中存在零元素 1 ,使对任何 a∈R+,有 a 1=a · 1=a; (4) 对于任何 a∈R+ ,有负元素 a -1∈R+,使 aa -1=aa -1=1; (5) 存在单位数 1∈R ,使 1 a=a 1=a; (6) λ(μ a)= λaμ=(a μ)λ=a λμ=( λμ) a; (7) (λ+μ) a=a λ+μ=aλaμ=aλaμ=(λ a)(μ a) ; (8) λ(a b)=(ab) λ=aλbλ=(λ a)(λ b); 其中 a,b,c ∈R +,λ, μ∈ R. 因此 R+ 对所定义的加法“" 、数乘“”构成 R 上的线性空间. 从这个例子可以看到, 线性空间中定义的加法和数乘不一定是通常意义上的加法与数乘,只是人为地把这两种运算叫做加法与数乘. 例 按通常的向量加法与数乘,Rn 是实数域上的线性空间, Cn 是复数域上的线性空间,但Rn 不是复数域 C 上的线性空间. 线性空间具有以下简单性质. 性质 1 零元素唯一,负元素唯一. 证事实上,设 0 1,0 2 均为 V(F) 的零元素,则 0 1=0 1+0 2=0 2+0 1=0 2; 其次,设X 1,X 2均为 X∈ V(F) 的负元素, 0为 V(F) 的零元素,则 X 1=X 1+0=X 1+(X+X 2)=(X 1+X)+X 2=0+X 2=X 2. 由于负元素的唯一性, 可记向量 X 的负元素为-X. 性质 2设λ,0,-1,1 ∈ F, X,-X,0 ∈ V(F), 则(1) 0X=0; (2) (-1)X=-X; (3) λ 0=0; (4) 若λ X=0 ,则λ=0或 X=0. 证因为 X∈ V(F) ,有(1) X+0X=1X+0X=(1+0)X=1X=X ,故 0X=0; (2) X+(-1)X=(1-1)X=0X=0 ,故(-1)X=-X; (3) λ 0=λ(X-X)= λ X-λ X=( λ-λ)X=0X=0; (4) 若λ≠ 0且X≠0,则 X=1X=1 λλ X=1 λ(λ X)=1 λ 0=0. 这与X≠0 矛盾,故λ≠ 0与X≠0 不能同时成立.