文档介绍：第一章集合 1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A,B。若 x A ∈, 必有 x B ∈,则称A是B的子集或B包含A, 记为 A BBA ??或。若 A B ?,且存在 x B ∈满足 x A ?,则称A是B 的真子集。若 A BBA ??且,则称A 与B 相等或相同。定义2 设Λ是一个非空集合,对于每个α∈Λ,指定一个集合 A α,于是得到许多集合,它们的总体称为集合族,记为{ } | A αα∈Λ或{ } A αα∈Λ。二、集合的运算定义3 设 A,B 是两个集合。 (1) 称集合{ } | ABxxAxB∪= ∈∈或为A与B的并集, 即由A与B的全部元素构成的集合; (2) 称集合{ } | ABxxAxB∩= ∈∈且为A与B的交集, 即由A与B的公共元素构成的集合; 定理1 (1)交换律 A BBA ∪=∪, A BBA ∩=∩; (2)结合律 () () A BCABC ∩∩=∩∩,() () A BCABC ∩∩=∩∩; (3) 分配律()()() A BC AB AC ∩∪=∩∪∩()()() A BC AB AC ∪∩=∪∩∪。更一般地有 (4) () () A BAB αααα∈Λ ∈Λ∪∩=∩∪; (5) () () A BAB αααα∈Λ ∈Λ∩∪=∪∩; (6)设{ } n A 和{ } n B 为两集列,有() 111nn n n nnn A BAB ∞∞∞=== ????∪∪=∪∪∪????????。定义4 设 A,B 是两个集合,称集合{ } \| A BxxAxB=∈?且是A和B的差集, 即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。如果 B A ?,则称\ AB 为B 相对于A 的补集或余集。定理2 (1) ( ) ,,,, ccc A AXAA A AX X ∪= ∩=?= =??= ; (2) \ AB = c A B ∩; (3)若 A B ?, A B ?; (4)若 AB ∩=?,则 c A B ?; (5) ()() ( ) ( ) ( ) \\\,\\\ A BCACBCABCABC∩=∩ = ∪。定理3 (D Morgan 法则) (1) ( ) \\ XA XA αααα∈Λ ∈Λ∪=∩; (2) ( ) \\ X AXA αααα∈Λ ∈Λ∩=∪; 特别的,若X 为全集,有 (3) ( ) c c A A αααα∈Λ ∈Λ∪=∩; (4) ( ) c c A A αααα∈Λ ∈Λ∩=∪。定义5 设X与Y是两个集合,称集合( ) { } ,| , XY xyxXyY×= ∈∈是X与Y的直积集,简称X与Y的直积,其中( ) ( ) 11 22 ,, xyxy = 是指 12 x x = 且 12 yy = 。三、集合列的极限集定义6 设{ } k A 是一列集合,分别称集合 { } lim | k k Ax →∞=∈ k 存在无穷多个k,使x A { } lim | k k Ax →∞=? k 只有有限个k,使x A 是集合列{ } k A 的上极限集与下极限集。注解:① lim k k x A →∞∈?存在{ } k A 的子集列{ } k A , 使 i k x A ∈, 1, 2 i = ?; ② lim k k x A →∞∈?存在 0 N > ,当 kN > 时, k x A ∈; ③ 11lim lim kkkk kkk k A AAA ∞∞=→∞= →∞∩???∪定理4 设集列{ } k A ,则(1) 1 lim kk knkn A A ∞∞→∞ = = =∩∪; (2) 1 lim kknkn k A A ∞∞== →∞=∪∩。注解:①() \lim lim \ kk k k E AEA →∞→∞= ②( ) \lim lim \ kk k k EA EA →∞→∞= 定理5 (1)若{ } k A 是单调递增集列,则 1 lim kk kk A A ∞→∞ = =∪(2)若{ } k A 是单调递减集列,则 1 lim kk kk A A ∞→∞ = =∩四、集类定义8 设 X 为一个集合, ζ是X 上的一个非空集类, 如果对任何 12 , EE ζ∈, 都有 12 12 ,\ EE EE ζζ∪∈∈, 则称ζ为X 上的一个环。如果还有 X ζ∈, 则称ζ为X 上的一个代数或域。如果对任何一列 k E ζ∈,均有 12 1 ,\ k k EEE ζζ∞=∪∈∈, 则称ζ为X上的σ环,如果还有 X ζ∈, 则称ζ为X 上的一个σ代数或σ域。定理6 若ζ为环,则 (1) ζ?∈(2)任意 12 , EE