柯西积分公式.ppt

文档介绍：关于柯西积分公式
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一、 柯西积分公式
定理 .(柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则
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[证]
D
C
K
z
z0
R
由于f (z)在 z0连续, 任给 , 存在 , 当 |z-z0|< 时, | f (z)-f (z0)| < . 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |z-z0|=R全部在C的内部, 且R < .
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例1
解
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例题2
解：
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二、 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同.
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定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:
其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.
[证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即
因此就是要证
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按柯西积分公式有
因此
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现要证当Dz0时I0, 而
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) |  M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满足 |Dz| < d/2,因此
L是C的长度
这就证得了当 Dz0时, I0.
D
z0
d
C
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这就证得了
再利用同样的方法去求极限:
依此类推, 用数学归纳法可以证明:
高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导,
而在于通过求导来求积分.
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