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其中C为D内的封闭曲线。
(复合闭路定理)若f(z)在多连通域D内解析,在边界上连续则
复习
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一、柯西积分公式
定理.(柯西积分公式)如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则
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[证]
D
C
K
z
z0
R
由于f(z)在z0连续,任给,存在,当|z-z0|<时,|f(z)-f(z0)|<.设以z0为中心,R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部,且R<.
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例1
解
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例题2
解:
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二、解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,.
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定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:
其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.
[证]设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即
因此就是要证
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按柯西积分公式有
因此
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现要证当Dz0时I0,而
f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|<d/2,因此
L是C的长度
这就证得了当Dz0时,I0.
D
z0
d
C
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这就证得了
再利用同样的方法去求极限:
依此类推,用数学归纳法可以证明:
高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,
而在于通过求导来求积分.
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