文档介绍：同济大学第六版高等数学上册课后答案全集1
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<br****题3-5
1. 求函数的极值:
(1) y=2x3-6x2-18x+7;
(2) y=x-ln(1+x) ;
(3) y=-x4+2x2 ;
(4);
(5);
(6);
(7) y=ex cos x ;
(8);
(9);
(10) y=x+tan x .
解 (1)函数的定义为(-¥, +¥), y¢=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1), 驻点为x1=-1, x2=3.
列表
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 3)
3
(3, +¥)
y¢
+
0
-
0
+
y
↗
17极大值
↘
-47极小值
↗
可见函数在x=-1处取得极大值17, 在x=3处取得极小值-47.
(2)函数的定义为(-1, +¥), , 驻点为x=0. 因为当-1<x<0时, y¢<0; 当x>0时, y¢>0, 所以函数在x=0处取得极小值, 极小值为y(0)=0.
(3)函数的定义为(-¥, +¥),
y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1), y¢¢=-12x2+4,
令y¢=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1.
因为y¢¢(0)=4>0, y¢¢(-1)=-8<0, y¢¢(1)=-8<0, 所以y(0)=0是函数的极小值, y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.
(9)函数的定义域为(-¥, +¥), , 因为y¢<0, 所以函数在(-¥, +¥)是单调
减少的, 无极值.
(10)函数y=x+tg x 的定义域为(k=0, ±1, ±2, × × ×).
因为y¢=1+sec 2x >0, 所以函数f(x)无极值.
2. 试证明: 如果函数y=ax3+bx2+cx +d 满足条件b2 -3ac<0, 那么这函数没有极值 .
证明y¢=3a x2+2b x+c. 由b2 -3ac<0, 知a¹0. 于是配方得到
y¢=3a x2+2b x+c,
因3ac-b2>0, 所以当a>0时, y¢>0; 当a<0时, y¢<0. 因此y=ax3+bx2+cx +d是单调函数, 没有极值.
3. 试问a为何值时, 函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.
解 f ¢(x)=acos x+cos 3x, f ¢¢(x)=-asin x-3 sin x.
要使函数f(x)在处取得极值, 必有, 即, a=2 .
当a=2时, . 因此, 当a=2时, 函数f (x)在处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为.
4. 求下列函数的最大值、最小值:
(1) y=2x3-3x2 , -1£x£4;
(2) y=x4-8x2+2, -1£x£3 ;
(3), -5£x£1.
解 (1)y¢=6x2-6x=6x(x-1), 令y¢=0, 得x1=0, x2=1. 计算函数值得
y(-1)=-5, y(0)=0, y(1)=-1, y(4)=80,
经比较得出函数的最小值为y(-1)=-5, 最大值为y(4)=80.
(2)y¢=4x3-16x=4x(x2-4), 令y¢=0, 得x1=0,
x2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得
y(-1)=-5, y(0)=2, y(2)=-14, y(3)=11,
经比较得出函数的最小值为y(2)=-14, 最大值为y(3)=11.
(3), 令y¢=0, 得. 计算函数值得
, , y(1)=1,
经比较得出函数的最小值为, 最大值为.
5. 问函数y=2x3-6x2-18x-7(1£x£4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.
解 y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1), 函数f(x)在1£x£4内的驻点为x=3.
比较函数值:
f(1)=-29, f(3)=-61, f(4)=-47,
函数f(x)在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.
6.