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2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 ,只有一个选项符合题
目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.
1
(1) 当 x → 0+ 时,若 lnα(1+ 2x ) ,(1− cosx ) α均是比 x 高阶的无穷小,则α的取值范围是( )
1 1
(A) (2,+∞) (B) (1, 2) (C) ( ,1) (D) (0, )
2 2
【答案】B
ln(12)αα+ xx (2)
【解析】由定义 lim =lim = lim 2ααx −1 = 0
x→0xx xx →→ 00
所以α−>10,故α>1 .
2
1 α
+ x 2
当 x → 0 时, (1− cosx )α~ 是比 x 的高阶无穷小,所以−>10,即α< 2 .
1 α
2α
故选 B
(2) 下列曲线中有渐近线的是( )
(A) yx= + sin x (B) yx=2 + sin x
1 1
(C) yx= + sin (D) yx=2 + sin
x x
【答案】C
11
x + sin sin
【解析】关于 C 选项: limxx= lim1 + lim =+= 1 0 1 .
x→∞ xxxx→∞→∞
11 1
lim[xx+ sin −= ] limsin = 0 ,所以 yx= + sin 存在斜渐近线 yx= .
xx→∞ xx→∞ x
故选 C
(3) 设函数 fx()具有 2 阶导数,gx( )= f (0)(1 −+ x ) f (1) x,则在区间[0,1] 上( )
(A) 当 fx′()≥ 0时, f() x≥ gx () (B) 当 fx′()≥ 0时, f() x≤ gx ()
(C) 当 fx′′()≥ 0时, f() x≥ gx () (D) 当 fx′′()≥ 0时, f() x≤ gx ()
【答案】D
【解析】令 Fx()= gx () − fx () = f (0)(1 −+ x ) f (1) x − fx (),则
FF(0)= (1) = 0 ,
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Fx′′()=−+− f (0) f (1) f () x, Fx′′()= − f ′′() x.
若 fx′′()≥ 0,则 Fx′′()≤ 0, Fx()在[0,1] 上为凸的.
又 FF(0)= (1) = 0 ,所以当 x ∈[0,1] 时, Fx()≥ 0,从而 gx()≥ f () x.
故选 D.
xt=2 + 7
(4) 曲线上对应于t =1的点处的曲率半径是( )
2
yt=++41 t
10 10
(A) (B) (C)10 10 (D)5 10
50 100
【答案】C
【解析】
dy24 t +
= = = 3
dxt 1 2 t t=1
2
2'−
d y dy t 2
= == = = −1
dx2 tt11 dx2 t t=1
''
y 11
= = ∴= =
kR33, 10 10
k
(1+ y'2 )22(1+ q )
故选 C
ξ 2
(5) 设函数 fx( )= arctan x,若 f() x= xf ′()ξ,则 lim = ( )
x→0 x2
2 1 1
(A)1 (B) (C) (D)
3 2 3
【答案】D
fx() 1 x− fx()
【解析】因为=f ' ()ξ= ,所以ξ 2 =
x 1+ξ 2 fx()
1
2 1−
ξ x−− fx( ) x arctan x 2 1
lim= lim= lim = lim 1+ x =
xx→→00x22 xfx( ) x → 0 x 2 arctan xx→0 3 x2 3
故选 D.
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∂2u
(6) 设函数 uxy(, )在有界闭区域 D 上连续,在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数,且满足≠ 0
∂∂xy
∂∂22uu
及+=0 ,则( )
∂∂xy22
(A) uxy(, )的最大值和最小值都在 D 的边界上取得
(B) uxy(, )的最大值和最小值都在 D 的内部上取得
(C)