文档介绍：高等数学第三版上册答案
高等数学第三版上册答案
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【篇一：中国人民大学出版社 (第四版 )高等数学一第 3 章课后习题详解】
t> 习题 3-1
？如满足，请求出满足定理的数值
? 。
1）
f(x)?2x2?x?3,[?1,]；
2） f(x)?x?x,[0,3] 。
知识点：罗尔中值定理。
2
解：（ 1）∵ f(x)?2x?x?3 在[?1, ] 上连续，在 (?1,) 内可导，且
f(?1)?f()?0

，
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∴
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（2）∵

∴
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1
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?(?1,) 即为所求。4
f(x)?x?x 在[0,3] 上连续，在 (0,3) 内可导，且
在[0,3] 上满足罗尔定理的条件。令
y?4x3?5x2?x?2 在区间 [0,1] 上的正确性。

f(0)?f(3)?0

，

f(x)?x?x
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f(1)?f(0)
1?0
3
2
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知识点：拉格朗日中值定理。
可验证定理的正确性。
1] 连续，在 (0,1) 内可导，∴ y?4x?5x?x?2在解：
y?f(x)?4x?5x?x?2 在[0,1] 上满足拉格朗日中值定理的条件。又区间[0,
f?(?)?
32
f(1)??2,f(0)??2， f?(x)?12x2?10x?1，
∴要使
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f(1)?f(0)5?0，只要： ??(0,1) ，
1?
012
???
1?012
★3. 已知函数
。
解：要使
的?。
f(2)?f(1)3
2?1 ★★ 。
证明：不妨设所讨论的区间为[a,b] ，则函数 y?px2?qx?r在[a,b] 上
连续，在 (a,b) 内可导，从
而有
f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)
b?ab?a
b?a
，结论成立。2
5. 函数
f(x)?x3 与 g(x)?x2?1 在区间 [1,2] 上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满
知识点：柯西中值定理。
思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程便为所求。
解：∵ f(x)?x3 及 g(x)?x2?1 在[1,2] 上连续，在 (1,2) 内可导，且在 (1,2) 内的每一点处有
g?(x)?2x?0，所以满足柯西中值定理的条件。要使
?
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即为满足定理的数值。

f(x) 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且f(1)?0 。求证：
/
结论出发，变形为
f/(x)x?f(x) ，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常
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用的方法。
证明：构造辅助函数f(x)?xf(x) ， f?(x)?f(x)?xf?(x)
根据题意 f(x)
?xf(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(1)?1?f(1)?0 ， f(x)
，只要 x
注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使f?(x)??
f?(x)1[xf(x)]?
???[lnf(x)]???[lnx]??[lnxf(x)]??0??0?[xf(x)]??0 f(x)xxf(x)
?xf(x)
∴只要设辅助函数f(x)
★★
f(x) 在(a,b) 内具有二阶导函数，且 f(x1)?f(x2)?f(x3)
知识点：罗尔中值定理的应用。思路：连续两次使用罗尔中值定理。证明：∵ f(x) 在 (a,b) 内具有二阶导函数，∴ f(x) 在 [x1,x2] 、 [x2,x3] 内连续，
在(x1,