文档介绍：- 168 - 第六章群论与量子力学§6 .1 哈密顿算符群和相关定理设?? rH ??为哈密顿算符,g 为同一坐标中的线性变换,P g 为与之对应的函数变换算符, ???? rgfrfP g?? 1??,?? rf ?为任意函数,有: ???????????????? rfPrgHPrgfrgHPrfrHPPrfrH ggg g???????????????故???? 1???? ggPrgHPrH ??(由?? rf ?为任意函数) 若坐标经过变换 g 作用后,哈密顿算符的形式不变,即: rgr ???' , ?????? rHrHrgH ????' ????,则: ???? 1???? ggPrHPrH ??或???? rHPPrH gg?????即当哈密顿算符?? rH ??在函数变换算符 gP 的作用下不变时,则?? rH ??与P g 对易:?? 0,? gPH ?【定义】哈密顿算符的群所有保持一个系统的哈密顿算符 H ?不变的变换 g 作成的集合构成一个群,称为该哈密顿算符?? rH ??的群,或薛定谔方程的群: ?????? rHrgHgG H??????存在逆元: HGg??,有???? rHrgH ?????令rgr ???' ,则' 1rgr ????,代入得: ??' ? 1rgg H ??,即:????' ?' ? 1rHrgH ????,故 HGg??1- 169 - 封闭性: HGgg??', , 有 : )()'()'()()()'( ? 11' 1'' 1'rHrgHrgHPrHPPrgHPrgg H gggg???????????????结合律和单位元显然存在。【定义】哈密顿算符群或薛定谔方程群由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群, 称为哈密顿算符群或薛定谔方程群, 记为:}|{ HgGGgPP??。以下三个定理给出了群的表示理论与量子力学之间最重要的联系。◆定理 ◆哈密顿算符 H ?的具有相同本征能量的本征函数,构成薛定谔方程群表示的基函数。证明:设哈密顿 H ?的本征能量 E n为?重简并,则存在?个线性无关的本征函数, ??,2,1,?i i?, 以它们为基构成复数域上的线性空间, 记为 HW 。可以证明 HW 为哈密顿算符群的表示空间: GgPP??,有?????? rEPrrHP ingig???????由ggPHHP ???,可得: ???????? rPErPH ignig??????,即?? rP ig??为本征值 E n 的本征函数( 该结论由 Wige r 于 1927 年首先提出,被称为 Wigner 定理), 故,???????????? 1j ji jigrgArP??即本征函数空间是哈密顿算符群的表示空间,对应群表示???? gA ,本征函数?????,2,1,?ir i?为表示空间的基函数。◆定理 ◆构成哈密顿算符群不可约表示的本征函数属于同一能级。证明: 反证法: 1设?? rH ??的?个本征函数, ?????,,2,1, )(?ir i ??构成哈密顿算符群的第α个不可- 170 - 约表示,而)(?? i ,??,2,1?i ,分属于?个不同的能级??,,2,1,?iE i 则有: ?????????? rErrH iii?????????两边以 gP 作用, GgPP?,有: ??????????????????? jj jiiigiiggAEPErHP?????? 1?而???????????????????????????????? jjj jijj jiigigEgAgArHPrHrHP???????????? 11???即: ?????????????????? jjj jijj jiiEgAgAE???????11 上式两边乘以??*?? k ,并对整个空间积分,利用???? ijji??????)|( 有: ???????? gAEgAE kik kii ???即?????? 0??gAEE kiki ?由于 kiEE?, 故???? 0?gA ki ?即???? gA ?为对角矩阵, 是可约表示。与假设矛盾,故???? i 基函数不可能分属于?个不同本征值。 2 若该?个不可约表示基函数分属于 m 个不同的能级,由?????? 0??gAEE ikki ?知, 矩阵???? gA i ?为包含 m 个子矩阵的块对角矩阵,因而是可约表示,与假设矛盾。由①、②可知,构成哈密顿算符群不可约表示的基函数属于同一能级。构成不可约表示的简并能级称为必然简并能级, 构成可约表示的能级称为偶然简并能级。必然简并: 由对称性引起的简并称为必然简并, 又称为正则简并, 必然简并波函数给出哈密顿群的不