文档介绍：八年级上册
课题学习最短路径问题
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引言:
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线
段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段
中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问
,本节
将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.
引入新知
问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者,,一位将军专程拜访
海伦,求教一个百思不得其解的问题:
从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然
后到B
最短?
探索新知
B
A
l
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精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的
“将军饮马
问题”.
你能将这个问题抽象为数学问题吗?
探索新知
B
A
l
追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?
将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.
探索新知
B
·
·
A
l
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(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地;
(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,
B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地
到饮马地点,再回到B 地的路程之和;
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思,
并把它抽象为数学问题吗?
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思,
并把它抽象为数学问题吗?
(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
为直线上的一个动点,上
面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,
AC 与CB 的和最小(如图).
B
A
l
C
追问1 对于问题2,如何
将点B“移”到l 的另一侧B′
处,满足直线l 上的任意一点
C,都保持CB 与CB′的长度
相等?
探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直
线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB
的和最小?
B
·
l
A
·
追问2 你能利用轴对称的
有关知识,找到上问中符合条
件的点B′吗?
探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直
线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB
的和最小?
B
·
l
A
·
作法:
(1)作点B 关于直线l 的对称
点B′;
(2)连接AB′,与直线l 相交
于点C.
则点C 即为所求.
探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直
线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB
的和最小?
B
·
l
A
·
B′
C