文档介绍：高等数学（同济大学数学系第七版）上册
第七章：微分方程课后****题答案
微分方程的基本概念
:
（1） My'）? -2yy'+4=0；
（3） xyw+2/+x2y =0；
(2) x2/-^yr +y =0；
(4 ) (7x - 6y) dx + (x + y) <ly = 0；
(6 )半 +p = sin，0.
解（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶.
：
（1） x/= = 5x2； (2 ) y" + y = 0 .y = 3sin x - 4cos x ；
(3 )- 2yf + y = 0 = x2el ；
(4 ) y* - ( A । +八2))'，+ 入 i >2y =()，> = C] e'J + C2eA-x.
解(1 )由y =57 ,得y = =10x2 =2)，故V =.
(2 ) ||| y = 3sin x - 4cos x f 得 >'=3cos x + 4sin x,进而得
于是
)“ + > = ( - 3 siii x +4cqs .r) + ( 3sin x - 4 cos x) = 0.
故y =3sin x -4cos x是所给微分方程的解.
(3)由 y = x2ex，得)'=2xea + x2ex = (2x + N )e* ,进而得
y" = (2 + 2x)ex + ( + x2)eM = (2 + + x:)e\
于是
y"-2< + y = [ (2 + 4x+1)-2(2' + /)
故），: /©・不是所给微分方程的斛.
（4）由y=6/声+C?e4*，得9=%。”3 + 小。2。2♦进而得
于是
(入। + a?)，' + 22y
二人:+4:C?eA” _ 41(入I + A2)C,eA|M _42(入|+42)(：2。M” + Z
入1入2。1。** + A1A2C2eAjI =0,
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故)・二是所给微分方程的解.
:
(1 ) (x - 2y)yf = 2x - y9x~ - xy + y2 = C；
(2 ) (xy - x))" -¥ xy'2 + yy' - 2y' = 0 ,y = ln( xy).
解(1)在方程“十/二。两端对力求导,得
2x - (y + xyr) + 2yyr = 0,
即(x-2>))，=2x->.故所给二元方程所确定的函数是微分方程的解.
(2)在方程y=ln(xy)两端对二求导，得
即(孙一= ，得
(y + xy' - I )y' + (xy - x)yu - y' = 0,
即(g - x) >” +町」2 + »，_ 2 / = 解.
&，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所绐的初值条件：
⑴/->2 =。,儿=0 =5；
>=(% +C2x)e2\r|xsO=0y|xsO = l；
> = G§in(x - G)，)"…=1，，1 …=0.
解(I)由>\=0 =5 ,将“=。，‘二5代入函数关系中•得C= -25,即
x2 = -25.
(2)由 y =(G ,得
y' = (。2 +2g +2C2x)eJr.
将x = =0及>'=I代人以上两式，得
[0=6，
11 = C2 + 2Ct ,
故 C| =0,C2 = 1 ty = xe2x.
(3)由 y = C|Sin(x - C2)，得
y* = C1cos(x - C2).
将] : 1及y'二0代人以上两式,得
(1 = C) sin( it - C2) = C)sin C2 , ①
lo = C|cos(万一。2 ) = 一 Cjcos C2. ②
由①2 +②2得c； = J ,不妨取G = 1 ,由①式得C2 =2/5 +半，故
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注取-1,可得相同的结果.
:
(1)曲线在点(1J)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
(2)曲线上点〃(％,y)处的法线与x轴的交点为。•旦线段PQ被 > 轴平分.
解(1)设曲线方程为y = y(*),它在