文档介绍：第一章
群的基本知识
二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（ Einstein ）发现相对论之后，对称性的研究在物理
学中越来越重要。 对称性帮助人们求得物理问题的解， 也帮助人们寻求新的运动规律。 物理
学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的 SU(2)同位
旋对称， SU(3) 色和味的对称，弱电统一的 SU(2)XU(1) 的对称，偶偶核的 U(6) 动力学对称等
等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，
它越来越受到物理学工作者的重视。
群
定义
设 G 是一些元素的集合，
G
{
, g,
}
{ g}
.在 G 中定义了乘法运算。 如果
G
对这种运算满足下面四个条件：
（1）
封闭性。即对任意
f , g
G ，若
fg
h
，必有
h
G 。
（2）
结合律。对任意
f , g,h
G ，都有
fg h
f ( gh)
.
（3）
有唯一的单位元素。有
e G ，对任意
f
G ，都有
ef
fe
f
（4）
有逆元素。对任意
f
G ，有唯一的
f
1
G ，使
f
1 f
ff
1
e
则称
G 为一个群。
e 称为群
G 的单位元素，
f 1 称为
f
的逆元素。
例
1
空间反演群。
设E和I
对三维实空间
R3 中向量
r
的作用为
E r
r , I r
r
即 E 是保持 r 不变的恒等变换， I 是使 r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续
对 r
作用。集合
E, I
构成反演群，其乘法表见表
.
例 2
n 阶置换群 Sn ，又称 n 阶对称群。将 n 个元素的集合 X {1,2,
, n} 映为自身的置换
为
P
1
2
n
,
m1
m2
mn
其中 m1 , m2 ,
, mn 是 1,2,
, n 的任意排列， P 表示把 1 映为 m1 ，2 映为 m2 ， n 映为 mn 的
映射。显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如
1
2
3
4
=
4
2
3
1
4
2
1
3
3
2
1
。
4
定义两个置换 P '
和 P 的乘积 P ' P ，为先实行置换
P ，再实行置换 P '
，如
1 2 3 1 23 1 2 3
= 。
2 1 3 3 21 3 1 2
容易看出在这乘法定义下，全部
n 阶置换构成 Sn 群。 Sn 群共有 n! 个元素。
例 3 平面三角形对称群 D 3 ，又称为 6 阶二面体群。
考虑重心在原点，底边与
x 轴平行的 xy 平面上的正三角形
ABC ，见图 （ a ）。保
持正三角形不变的空间转动操作有
e : 不转， d : 绕 z 轴转 2 3， f : 绕 z 轴转 4 3 ，
a : 绕轴 1 转 ， b : 绕轴 2 转 ， c :绕轴 3 转
定义两个转动操作的乘积，如 ab 为先实行操作 b ，再实行操作 a 。由图 b 可看出，实
行操作
b 和实行操作
ab 后
ABC 位置的变化， 且可看出，实行操作
ab 和实行操作
d 一样，
因此
ab
d
。在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成
D3 群。