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第九章 欧氏空间
1. aij是一个n正定矩,而
(x1,x2, ,xn), (y1,y2, ,yn),
在Rn中定内(, ) ,
明在个定之下,Rn成一欧氏空；
求位向量
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0),⋯, n (0,0, ,1)，
的度量矩；
3) 具体写出个空中的柯西 —布湿柯夫斯基不等式。
n
解 1)易( , ) 是R上的一个二元函数，且
(1)
(
,
)
(
)
(
,
)，
(2)
(k
,
)
(k
)
k(
)k(,)，
(3)
(
,
)
(
)
(,
)
(,)，
(4)
(
,
)
aijxiyj
，
i,j
由于A是正定矩，因此
aijxiyj是正定而次型，从而
(,)0，且当
0有
i,j
( , ) 0。
2)位向量
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0),⋯,
的度量矩 B (bij)，
n (0,0, ,1)，
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a11
a12
a1n
0
bij(i,
a22
a22
a2n
aij
j)(0,,1,0)
1
(j)=
，(i,j
1,2,,n)，
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(i)
an1
an2
ann
0
因此有B
A。
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由定义，知
(,)
aijxiyj
(,)
aijxixj
(,)
aijyiyj
i,j
，
i,j
，
i,j
，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
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aijxiyj
aijxixj
aij
yiyj
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i,j
i,j
i,j
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,求,
之间
,
(内积按通常定义)，设:
1)
(2,1,3,2),
(1,2,
2,1)，
2)
(1,2,2,3),
(3,1,
5,1)，
3)
(1,1,1,2),
(3,2,
1,0)。
解1)由定义,得
(, ) 2 1 1 2 3(1) 2 1 0，
所以
,
。
因为
(,)1
32
1
253
118，
(
,
)
1
122
223318，
(
,
)
331
1223
336，
18
2
cos,
2，
1836
所以
4。
同理可得
(,)
3
,
(,)
17
,
(,)3
,
cos,
3
，
77
所以
,
cos1
3
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77。
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(,
)
通常为
,
的距离，证明；
d(,)
d(,)
d(,)。
证由距离的定义及三角不等式可得
d(,
)
(
)
(
)
d(
,
)
d(,
)。
4在R
4中求一单位向量与
1,1,
1,1,1,1,1,1,2,1,1,3正交。
解
设
x1,x2,x3,x4
与三个已知向量分别正交，得方程组
x1
x2
x3
x4
0
x1
x2
x3
x4
0
，
2x1
x2
x3
3x4
0
因为方程组的系数矩阵
A的秩为
3，所以可令
x3
1
x1
4,x2
0,x4
3，即
4,0,1,
3。
再将其单位化，则