文档介绍：.
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高等代数〔北大第三版答案
目录
第一章 多项式
第二章 行列式
第三章 线性方程组
第四章 矩阵
第五章 二次型
第六章 线性空间
第七章 线性变换
第八章 —矩阵
第九章 欧氏空间
第十章 双线性函数与辛空间
注：
答案分三部分,该为第二部分,其他请搜索,谢谢！
12．设为一个级实对称矩阵,且,证明：必存在实维向量,使
。
证 因为,于是,所以,且不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换使
,
且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在中,令
则可得一线性方程组
.
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,
由于,故可得唯一组非零解使
,
即证存在,使。
13．如果都是阶正定矩阵,证明：也是正定矩阵。
证 因为为正定矩阵,所以为正定二次型,且
, ,
因此
,
于是必为正定二次型,从而为正定矩阵。
14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证 必要性。采用反证法。若正惯性指数秩,则。即
,
若令
,,
则可得非零解使。这与所给条件
矛盾,故。
充分性。由,知
,
故有,即证二次型半正定。
15．证明：是半正定的。
.
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证
〔
。
可见：
当不全相等时
。
当时
。
故原二次型是半正定的。
16．设是一实二次型,若有实维向量使
, 。
证明：必存在实维向量使。
设的秩为,作非退化线性替换将原二次型化为标准型
,
其中为1或-1。由已知,必存在两个向量使
和 ,
故标准型中的系数不可能全为1,也不可能全为-1。不妨设有个1,个-1,
且,即
,
这时与存在三种可能：
, ,
下面仅讨论的情形,其他类似可证。
令, , ,
.
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则由可求得非零向量使
,
即证。
17．是一个实矩阵,证明：
。
证 由于的充分条件是与为同解方程组,故只要证明与同解即可。事实上
,
即证与同解,故
。
注 该结论的另一证法详见本章第三部分〔补充题精解第2题的证明,此处略。
补充题参考解答
用非退化线性替换化下列二次型为标准型,并用矩阵验算所得结果：
1；
2；
3；
4,其中。
解 1作非退化线性替换
,
即,则原二次型的标准形为
,
.
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且替换矩阵
,
使
,
其中
。
2若
, ,
则
,
于是当为奇数时,作变换
,
.
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则
,
且当时,得非退化替换矩阵为
,
当时,得非退化替换矩阵为
,
故当为奇数时,都有
。
当为偶数时,作非退化线性替换
,
.
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则
,
于是当时,得非退化替换矩阵为
,
于是当时,得非退化替换矩阵为
,
故当为偶数时,都有
。
由配方法可得
,
于是可令
.
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,
则非退化的线性替换为
,
且原二次型的标准形为
,
相应的替换矩阵为
,
又因为
.
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,
所以
。
令
,
则
。
由于
,
.
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则
原式
,
其中所作非退化的线性替换为
,
故非退化的替换矩阵为
。
又
,
所以
。
设实二次型
,
证明：的秩等于矩阵