文档介绍：第二章函数、导数及其应用
对数函数、幂函数
【高考目标定位】
一、考纲点击
1、对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常用对
数;了解对数在简化运算中的作用。
(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型。
x x
(4)了解指数函数 y=a 与对数函数 y = loga 互为反函数( aa>≠0,且 1)
2、幂函数
(1)了解幂函数的概念。
1 1
(2)结合函数 y=x,y=x2,y=x3, y = , yx= 2 的图象,了解它们的变化情况。
x
二、热点提示
1、对数函数
(1)对数函数在高考的考查中,重点是图象、性质及其简单应用,同时考查数学思想方法,
以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主。
(2)以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质;也有可能与其他知识结合,在知识
交汇点处命题,以解答形式出现,属中低档题。
2、幂函数
(1)常以 5 种幂函数为载体,考查幂函数的图象及性质;
(2)多以选择、填空题的形式出现,有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。
【考纲知识梳理】
一、对数函数
1、对数的概念
(1)对数的定义
x N
如果 aNaa=>(0且≠ 1),那么数 x 叫做以 a 为底, N 的对数,记作 x = loga ,其中 a
叫做对数的底数, N 叫做真数。
(2)几种常见对数
表格 1
对数形式特点记法
一般对数 N
底数为 a aa>≠0,且 1 loga
常用对数底数为 10
lg N
自然对数底数为 e ln N
2、对数的性质与运算法则
(1)对数的性质( aa>≠0,且 1):
N N
1 a loga a
① loga = 0 ,② loga = 1,③ aN= ,④ loga = N 。
(2)对数的重要公式:
①换底公式:
log N
N a 均为大于零且不等于;
logb =>b (ab , 1, N 0)
loga
1
② b ,推广。
loga = a logabcbcd
log log= log a d
logb
(3)对数的运算法则:
如果 aa>≠0,且 1, MN>>0, 0 那么
log (MN) = log M + log N
① a a a ;
M
log a = log a M − log a N
② N ;
log M n = nlog M (n ∈
③ a a R);
n n
log m b log b
a = a
④ m 。
3、对数函数的图象与性质
a >1 01< a <
图
象
性
(1)定义域:(0,+ ∞)
质
(2)值域:R
(3)当 x=1 时,y=0 即过定点(1,0)
(4)当 01<<x 时, y ∈−∞(,0); (4)当 x >1时, y ∈−∞(,0);
当 x >1时, y ∈(0,+∞) 当 01< x < 时, y ∈+∞(0, )
(5)在(0,+ ∞)上为增函数(5)在(0,+ ∞)上为减函数
注:确定图中各函数的底数 a,b,c,d 与 1 的大小关系
提示:作一直线 y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0<c<d<1<a<b.
4、反函数
x
指数函数 y=a 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称。
二、幂函数
1、幂函数的定义
形如 y=xα(a∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α为常数
注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而
指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象
1
3 2 2 -1
注:在上图第一象限中如何确定 y=x ,y=x ,y=x, yx= ,y=x 方法:可画出 x=x0;
1
3 2 2 -1
当 x0>1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x ,y=x , y=x, yx= , y=x ;
1
-1 2 2 3
当 0<x0<1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x , yx= ,y=x, y=x ,y=x 。
3、幂函数的性质
2 3 -1
y=x y=x y=x 1 y=x
yx= 2
定义域 R R R [0, +∞)
{x