文档介绍：“北约”“华约” 2013 年自主招生数学模拟试题(满分 150 分) 是抛物线 2 4 4 0 y y x ? ??上的动点,点A 的坐标为(0, 1) ?,点M 在直线 PA上, 且分 PA ????所成的比为 2:1, 则点 M 的轨迹方程是. 第二部分:解答题(共 5 小题每题 20 分) 1 设集合?? 12 log 3 2 A x x ? ?? ?? ???? ?? ?? ?,21 a B x x a ? ?? ?? ??? ?.若 A B ???, 求实数 a 的取值范围 2. 为了搞好学校的工作,全校各班级一共提了 P)( ??NP 条建议. 已知有些班级提出了相同的建议,且任何两个班级都至少有一条建议相同, 12 ?P 个 3. 设平面向量( 3, 1) a ? ??, 1 3 ( , ) 2 2 b??. 若存在实数( 0) m m ?和角( ( , )) 2 2 ? ?????, 使向量 2 (tan 3) c a b ? ? ?? ? ?, tan d ma b ??? ??? ??,且 c d ?? ??. (I) 求函数( ) m f ??的关系式;( II)令 tan t??, 求函数( ) m g t ?的极值. 4. 已知双曲线的两个焦点分别为 1F ,2F , 其中 1F 又是抛物线 24 y x ?的焦点,点A ( 1, 2) ?, B (3, 2) 在双曲线上.(I) 求点 2F 的轨迹方程;( II) 是否存在直线 y x m ? ?与点 2F 的轨迹有且只有两个公共点? 若存在, 求实数 m 的值, 若不存在, 请说明理由. 5. 已知 a,b 均为正整数,且, sin )( ),2 0( 2 sin , 2222????nbaAba ab ba nn????????其中求证:对一切*N?n ,nA 均为整数参考答案一、选择题 2. 证明: 假设该校共有 m 个班级, 他们的建议分别组成集合 mAAA,, ,21?。这些集合中没有两个相同(因为没有两个班级提出全部相同的建议) ,而任何两个集合都有相同的元素, 因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在 mAAA,, ,21?中至多有 A( 所有 P条建议所组成的集合)的 1222 1 ??? PP 个子集, 1?? Pm :(I)由 c d ?? ??, 1 3 3 1 0 2 2 a b ? ?????? ?,得 2 [ (tan 3) ] [ tan ] c d a b ma b ? ?? ??????? ??? ???= 2 2 3 (tan 3tan ) 0 ma b ? ?? ? ?