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数学物理方法总结
复变函数
复数的代数式:z=x+iy
复数的三角式和指数式:和
欧拉公式:{
柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{ (其中f(z)=u+iv域上将展开
解答: 函数的各阶导数,而.
如此在的领域上的泰勒展开
.
双边幂级数
洛朗级数展开设f(z)在环形区域的内部单值解析,如此对环域上的任一点z,f(z)
,
积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.
例题1: 在的环域上将展为洛朗级数.
解答:
例题2: 在的领域上将展为洛朗级数.
解答: 由题意得
如此有z-1的-1次项,而
()
故 .
留数定理
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留数定理设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点,,……,解析,在闭区域上除,,……,外连续,如此
.
其中,.
推论1: 单极点的留数为.
推论2: 假如f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在点解析,是Q(z)的一阶零点().,如此
.
上式最后一步应用了罗毕达法如此.
留数定理的应用
类型一 .作自变量代换 .如此式子变为
.
例题: 计算 .
解答: ,
Z的单极点为.
如此,
.
类型二 .积分区间是;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面与实轴上时,zf(z)一致地
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.如此式子可以变为
{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.
例题: 计算 .
解答: 的单极点为.
,故.
类型三,,积分区间是;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面或实轴上,F(z)与G(z)
;
.
假如类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,如此有
.
其中,在类型三中f(x)应理解为或.
Fourier变换
傅里叶级数周期为2l的函数f(x)可以展开为级数
.
其中,{, ={.
注: 积分上下限只要满足上-下=2l 即可.
复数形式的傅里叶级数
其中 .
傅里叶积分
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傅里叶变换式 {
复数形式的傅里叶积分 {
傅里叶变换的性质
导数定理F[f’(x)]=iwF(w)
积分定理 F[]=
相似性定理 F[f(ax)]=
延迟定理 F[]=
位移定理 F[]=
卷积定理假如F[]=,F[]=,如此
F[*]=.
其中称为和的卷积.
函数
{.
{.
函数的一些性质
1. 是偶函数.
2. {.
3..
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Laplace变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的一些性质
线性定理假如,,如此
.
导数定理 .
积分定理 L[].
相似性定理 .
位移定理 .
延迟定理 .
卷积定理假如,,如此
,
其中称为和的卷积.
数学物理定解问题
(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为或或.
(2) 扩散方程,热传导方程的形式为或.
(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程).
(4) 以上方程中意为,,如此方程为各方程=f(x,y,z,t).
定解条件
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初始条件初始〞位移〞,
初始〞速度〞.
边界条件第一类边界条件
第二类边界条件
第三类边界条件
衔接条件
.(T为X力)
达朗贝尔公式定界问题
达朗贝尔公式 .
其中,.
别离变数法
泛定方程 (假如该方程可以使用别离变量法,如此可以化成).
在不同的边界条件下解不同.
边界条件
{ , X(x)的解为 {其中 n=1,2,3……
{, X(x)的解为 { 其中 k=0,1,2……
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