文档介绍：《初等数论》教学大纲
一、课程基本信息
课程编号:2102210
课程中文名称:初等数论
课程英文名称:elementary number theory
课程类型:任意选修课
总学时:36 理论学时:36 实验学时: 课外学时:
学分: 2
适用专业:数学与应用数学(师范)
先修课程:
开课院系:数学与信息学院
二、课程性质和任务
初等数论是研究整数性质的一门学科,它是高等师范院校数学与应用数学专业的一门基础课。本课程的任务是使学生系统地掌握初等数论的基本理论和方法,具有将初等数论中的思想方法和技巧用于解决中学数教学中遇到的问题的能力。
三、课程教学目标
在学完本课程之后,学生能够:
熟练地掌握整数的整除理论、同余理论以及不定方程的基本理论
对数有更深刻的认识
能够解决中学数学尤其是中学数学竞赛中关于数论的常见问题
了解公开密钥-RSA体制的工作原理和初步的密码知识。
四、理论教学环节和基本要求
(一)整数的整除性理论
1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质,理解剩余定理,
熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。
2、理解素数与合数的概念、素数的性质,理解整数的素数分解定理,会用筛法求素数。
3、了解函数[x]与{x}的概念、性质,n!的素数分解、组合数为整数的性质。
4、掌握解决中学数学中关于整除问题的常用方法
(二)不定方程
1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件,熟练掌握利用剩余定理(辗转相除法)求二元一次不定方程的方法。
2、了解多元一次不定方程有解的条件,掌握解简单的多元一次不定方程的方法。
3、了解不定方程的整数解的形式,掌握求形如的整数解的方法。
4、掌握解决中学数学中关于不定方程问题的常用方法
(三)一元同余理论
1、理解整数同余的概念及同余的基本性质,熟练掌握整数具有素因子的条件,会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
2、理解剩余系、完全剩余系的概念,熟练掌握判断剩余系的方法,理解欧拉函数的定义及性质。
3、了解欧拉定理、Fermat小定理,掌握循环小数的判定方法。
4、理解公开密钥-RSA体制的工作原理
5、理解同余式的定义,掌握一次同余式有解的条件,熟练掌握求解一次同余式。
6、理解中国剩余定理,掌握中国剩余定理的简单应用,掌握求解简单同余式方程组的方法。
7、了解高次同余式解的个数的判断方法,知道解高次同余式的方法,了解模整数同余式与模素数同余式的关系,掌握求简单的(3、4次)同余式解的方法。
8、了解素数模同余式的次数化简、Wilson定理,了解同余式的次数与解的个数的关系,知道n次同余式有n个解的条件。
9、掌握解决中学数学中关于同余问题的常用方法
六、有关教学环节的说明
(一)教学要求:
整除理论以及简单的不定方程求解问题是初等数论中最基础,也是比较重要的一部分,但这部分内容,学生较为熟悉,因此除个别地方外,学生可以自学。课堂教学主要是通过大量例题的讲解,使学生加深对定义和定理的理解,学会解题的基本技巧,注意对逻辑推理的严密性,数学语言的规范性以及文字叙述准确性的基础训练。同余和同余方程的基础理论,是初等数论中的重要组成部分,是学生深入学习数论的基础,也是将来从事数论理论研究的基