文档介绍：中等数学
从一个命题的证明谈起
金磊
西安交通大学附属中学,
中图分类号:. 文献标识码: 文章编号:———
世纪初,在研究几何基础的过程中,
点在△外接圆上,而且还是弧
为了显示直觉在几何证明中的不合理性,人
的中点,同时,点在两边上的垂足分别位
们引入了一个悖论:
于三角形形内、形外,这样,虽然仍有
命题任意三角形是等腰三角形.
,,却得不到.
命题的证明在△中,作的
如果在准确的图形中联结可以发
平分线和的中垂线,则它们要么平现:、,、
行,,则上,即:
最基本也是最重要的方法就是证明其中两条
;若相交,则设与的中垂线交于点
线段的夹角互补.
.作上于点,.于点
以下证明“脱胎”于上述悖论的证明.
因为为角平分线,所以,.
如图,联结、.由垂直关系有、
又为中垂线,,
、、。.
△△. 同理,由、、、,和、、、分别四
又,贝,

。.
上述证明看似无懈可击,但结论却又荒从而,、、三点共线.
谬至极,构成了强烈的反差.
细心的读者会发现,上述证明没有用到
如果作出准确的两边差距较大的图
,也就是说,对于△外接圆
形图,就能一眼看出问题所在.
上任意一点,都有它在三边上的垂足共线.
现在已经得到了一个优美的结论:
三角形外接圆上任意一点在三边直线上
的垂足共线.
反过来此问题成立吗也就是说:若平
面上某一点在△三边上的垂足共线,
此点是否必在其外接圆上呢结论是肯定
.
由此得到:当且仅当点位于△外
接圆上时,在三边上的射影共线.

其实,这正是平面几何中的一个著名定
图
理——西姆松定理.
收稿日期:——西姆松定理也可理解为平面上在三条不
年第期
平行的直线上的射影共线的点的轨迹为三条
直线交成三角形的外接圆.
那么进一步,平面上的在四条直线上的
射影共线的点存在吗顺着西姆松定理的思
路:设四条直线为、、,、,则在、:、,上
射影共线的点在其交点的外接圆上,对、
、、、、上射影共线的点必
为两圆交点如图.
图
如果作出四个圆的圆心,不难发现,四个
圆心与五点还是共圆.
其实,完全四边形还有下面几个主要性
质如图.
图
很自然地得到:平面上在四条直线上的

的读者会问:四条直线中任三条相交形成的
三角形应该有四个,对应的外接圆应该也有

定的,因为在图中,由于、、三点共线,
则、、交成三角形的外接圆必过点图
同理,对。、、亦然. 在完全四边形中,△、
这样就很自然地证明了四圆共点的结△、△、△的四个垂心共线,称
: 为完全四边形的垂心线,而且此线还与西姆
对四边形,设对边延长线交于点松线平行.
、,则、△、△、的完全四边形的三条对角线
四个外接圆共点于如图. 、、的中点共线,称其为牛顿线,而且
一般地,称四边形对边延