文档介绍：背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个数学定理”之一。
☆ 1889年发现了“皮克定理”。
第一页，共16页。
第一层：皮克定理
自主探索：
下面多边形的面积背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个数学定理”之一。
☆ 1889年发现了“皮克定理”。
第一页，共16页。
第一层：皮克定理
自主探索：
下面多边形的面积是多少(面积单位）？
数一数，图形内部有几个点（n）？图形边界上有几个点（m）？
解：由格点图形面积公式 ,得
第二页，共16页。
巩固拓展：
如下图，计算下列各个格点多边形的面积。
16
15
10
（1）
（2）
（3）
解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）
第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）
第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）
第三页，共16页。
（4）
15
（5）
12
（6）
18
第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）。
第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12（面积单位）。
第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18（面积单位）。
第四页，共16页。
2、求下列各多边形的面积，并统计图形边上格点数及图形内包含的格点数。
(1)
(2)
（1）15解：此题不能直接由公式来求，因为这个多边形不是凸多边形 =15
（2）20解：由格点面积公式，得：∵n=16，m=10，∴
第五页，共16页。
(3)
(4)
（3）14解：由格点面积公式，得：∵n=12，m=6，∴
（4）17解：由格点面积公式，得：∵n=13，m=10，∴
第六页，共16页。
3、方格纸（图）上有一只小虫，从直线AB上的一点O出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为一厘米。小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上，但不一定回到O点。如果小虫一共爬行2厘米，那么小虫的爬行路线有几种？如果小虫一共爬行3厘米，那么小虫爬行的路线有几种？
（2）小虫爬过3厘米，可有20种路线，分别是：上，左，下；上，右，下；下，左，上；下，右，上；上，下，左；上，下，右；下，上，左；下，上，右。（以上8种都是先“上”或先“下”。）如果第一步为“左”或“右”，那么转化为第（1）题，各有6种路线。一共是8+6×2=20（种）。
6，20解：为了方便，下面叙述中省去“上、下、左、右”4个字前面的“向”。（1）小虫爬过2厘米，可有以下6种路线，分别是：左，右；右，左；上，下；下，上；左，左；右，右。（以上前4种路线均回到O点）。
第七页，共16页。
第二层：凹多边形
自主探索：
下图是一个10×10的正方形，求正方形内的四边形的面积是多少？
E
A
D
C
B
因为ABCD不是凸四边形，所以
如在原题图上取格点E，则三角形BCE
及四边形AECD就都是凸的图形了。
请把自己的想法说给同学听听。
解：因为不是凸四边形，所以如在原题图上取格点，则三角形及四边形都是凸的图形，故： (4+6÷2-1)+(21+8÷2-1)=30(面积单位)
第八页，共16页。
试一试：
下图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分面积。
格点中的图形分别为凸多边形和凹多边形要设法转化为凸多边形并利用公式计算。
解：把图形分割四个三角形和一个正方形，所以图形的面积为：
（平方厘米）
第九页，共16页。
巩固拓展：
1、在一个9×6的长方形内，有一个凸四边形（如图），先用毕克定理先求出它的面积，再用拼割方法计算它的面积，看两者是否一致。
G
D
E
H
A
B
F
解：①由毕克定理得：25+72-1=(面积单位)。
②用拼割方法得： 的面积=长方形的面积-四角上的四个三角形的面积=96-(622+332+432+452)=54(6++6+10)=
(面积单位)
第十页，共16页。
2、下图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”多占的面积是几？
解：图形内部格