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第七届某某学院数学建模竞赛暨
全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目
A题
密封号
2014年5月26日
剪 切 线
x0：初始人口数量
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R2：可决系数
R：独生子女率
S：独生子女数
S30：某某2012年30岁以后人数
X2012：某某市2012年人口数
X2032：某某市2032年人口数
模型的建立与求解：
模型一：阻滞增长模型
模型准备：
阻滞增长模型：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的根本假设进展修改后得到的。阻滞作用表现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。假如将表示为的函数。如此它应是减函数。于是有： 〔1〕
对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即
〔2〕
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，当时人口不再增长，即增长率，代入〔2〕式得，于是〔2〕式为
〔3〕
将〔3〕代入方程〔1〕得：
〔4〕
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解方程〔4〕可得：
〔5〕
模型的建立
表1：全国每次人口普查数据〔单位：万〕
1954年
1964年
1982年
1990年
2000年
2010年
60139
72307
100817
113368
126583
133972
根据以上数据用EXCEL作图如下
1954年到1964年，十年间人口增加12168万，%，1990年到2000年，十年间人口增加13215万，%。至1970年实施计划生育以后，我国人口数量增长率明显下降，考虑自然因素，1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。
由于上面的曲线拟合表示线性关系，而且数据较少，预测全国人口在2032年将达到17亿，误差太大。所以很难保证拟合的准确性。因此我们再选择1954年后每年的普查数据为主要参考数据，作为初始年份对表2中的数据进展拟合。
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表2 各年份全国总人口数〔单位：千万〕
年份
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
总人口
66
年份
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
总人口
83
年份
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
总人口
95
年份
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
总人口
年份
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
总人口
年份
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
总人口
〔1〕将1954年看成初始时刻即t=0，如此1955为t=1，以次类推，以2005年为t=51作为终时刻。用函数〔5〕对表2中的数据进展非线性拟合，运用Matlab编程〔程序见附录1〕得到相关的参数xm=，r=-〔可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标〕：
由可决系数来看拟合的效果比拟理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：
〔6〕
根据曲线〔6〕我们可以对2010年〔t=6〕、2020年〔t=66〕、与2033年〔t=79〕
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进展预测得〔单位：千万〕：
x(56)= x(66)= x(79)
〔2〕将1963年看成初始时刻即，以2005年为作为终时刻。运用Matlab编程〔程序见附录2〕得到相关的参数xm= r=，可以算出可决系数R2=