文档介绍：第16课 实对称矩阵的对角化
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性质1 实对称矩阵的特征值为实数.(证明略）
一、实对称矩阵的性质
性质1的意义
因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组
又因为 第16课 实对称矩阵的对角化
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性质1 实对称矩阵的特征值为实数.(证明略）
一、实对称矩阵的性质
性质1的意义
因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组
又因为 ，可知该齐次线性方程组一定有实的
基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。
是实系数方程组。
注
未必所有的实矩阵对应的特征值都是实数。
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性质2 实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量正交。
是依次与之对应的特征向量。
证 设 是对称矩阵 的两个特征值，且
则
于是
为实对称矩阵，
即 正交。
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例：
A
(实对称矩阵必可对角化)
对于任一 阶实对称矩阵 ，
其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角阵。
一定存在 n 阶正交矩阵 使得
推论： 为 阶实对称矩阵， 是 的 重特征值，
即 的基础解系所含向量个数为
则对应于 的特征向量中，线性无关的向量的个数为
（则 ）
知道结论即可
二、实对称矩阵（正交）对角化的结论
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证明：
A为实对称矩阵，则A必可对角化。
即 的基础解系所含向量个数为
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例1 设
求正交矩阵 ，
使得 为对角阵。
解
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当 时，齐次线性方程组为
得基础解系
令
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当 时，齐次线性方程组为
令
得基础解系
之间是什么关系？
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令
先正交化：
再单位化：令
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单位化得
得正交矩阵
唯一吗？
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求正交矩阵 ，把实对称矩阵 化为对角阵的方法：
1. 解特征方程
求出对称阵 的全部不同的特征值。
即求齐次线性方程组
的基础解系。
3. 将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。
2. 对每个特征值 ，求出对应的特征向量，
这样共可得到 个两两正交的单位特征向量
4. 以 为列向量构成正交矩阵
有
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即
必须注意：对角阵中 的顺序
要与特征向量 的排列顺序一致。
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例2 设
求正交矩阵 ，
使得 为对角阵。
解
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当 时，由
即
得基础解系
当 时，由
即
得基础解系
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当 时，由
即
得基础解系
只需把 单位化，得
（考虑为什么？）
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得正交矩阵
有
只需把 单位化，得
只需把 单位化，得
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解
秩
设 的特征向量为
则
例3 设3阶实对称矩阵A的特征值为
，已知
，相对应的特征向量分别为
,
求 的值及矩阵 A.
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得基础解系
思考 求A，C还有没有别的取法？
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把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且
在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例4：已知方阵 的特征值是
相应的特征向量是
求矩