文档介绍：2022年高考天津市数学试卷-理科(含详细答案)
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　　　　　2022年普通高等学校招生全国统一考试　
天津卷〔理科〕
　　　　　　　　第一卷
本卷共8小题，每题5分，共
解法1 ．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图的直角坐标系．
由题设，，设，，那么．
，．
．
，
当且仅当时，等号成立，于是，当时，有最小值．
解法2 ．以相互垂直的向量，为基底表示，得
．
又是腰上的动点，即与共线，于是可设，
　　有．
　　所以
　　即．
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由于是腰上的动点，显然当，即时，
所以有最小值．
解法3 ．如图，，设为的中点，为的中点，那么，
，　　　　　　①
因为，．
那么
．　　　②
〔实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和〞〕
设为的中点，那么为梯形的中位线，．
设为的中点，且设，
那么，，，
代入式②得
　　，
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于是，于是，当且仅当时，等号成立．
由式①，，
所以有最小值．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题总分值13分) 函数，
(Ⅰ) 求函数的定义域与最小正周期；
(Ⅱ) 设，假设，求的大小．
【解】(Ⅰ)　函数的定义域满足，，解得，．
所以函数的定义域为．最小正周期为．
(Ⅱ) 解法１．　因为，所以
　　，
所以，
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于是，
因为，所以，所以，
因而，，
因为，所以，所以，．
解法2．因为，所以　　，
，　　　
，
所以，
因为，所以，
于是，整理得
　　　　　，
所以，因为，所以，因此．
解法3．，
，
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因为，所以．
得．故．
于是．所以．
16．(本小题总分值13分)学校游园活动有这样一个游戏工程：甲箱子里装有个白球，个黑球，乙箱子里装有个白球，个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，假设摸出的白球不少于个．那么获奖．〔每次游戏结束后将球放回原箱〕
(Ⅰ)　求在次游戏中，
　　(ⅰ) 摸出个白球的概率；
(ⅱ) 获奖的概率；
(Ⅱ)　求在次游戏中，获奖次数的分布列及数学期望．
【解】(Ⅰ)　 (ⅰ)设“在次游戏中摸出个白球〞为事件，那么
．
(ⅱ)设“在次游戏中获奖〞为事件，那么，
，
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因为和互斥，所以．
(Ⅱ) 的所有可能值为
，
，
，
所以的分布列是
　　　
数学期望．
17．(本小题总分值13分)如图，在三棱柱中中，是正方形的中心，
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，，且．
(Ⅰ) 求异面直线与所成角的余弦值；
(Ⅱ) 求二面角的正弦值；
(Ⅲ) 设为棱的中点，点在平面内，且，求线段的长．
【解】解法１．如下图，建立空间直角坐标系，其中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴．
由题意，，，，，，．
(Ⅰ) ,.
所以.
(Ⅱ) ,，
设平面的法向量为，那么即
令，那么，．．
设平面的法向量为，那么即
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令，那么，．．
于是，所以．
所以二面角的正弦值为．
(Ⅲ) 由为棱的中点，得，设点，
那么．
因为，那么
即
解得故．向量，
所以线段的长．
解法2．(Ⅰ)由于,故是异面直线与所成的角．
因为，是正方形的中心，，
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，
所以，
，
因此．
(Ⅱ) 连接，因为及是的中点．那么，又，，所以
．
过点作于，连，于是，
所以为二面角的平面角．
在中，，
连，在中，，，
，从而．
所以二面角的正弦值为．
(Ⅲ)　因为，所以，取的中点，连接．
由于为棱的中点，所以，且．
又，故，
因为，所以，连接并延长交
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于点，
那么．故．
由，得．
延长交于，可得，连接．
在中，，由直角三角形的射影定理，，
所以，．
连接，在中，．
18．(本小题总分值13分) 在平面直角坐标系中，点为动点，，
分别为椭圆的左右焦点，为等腰三角形．
　　(Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ) 设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
【解】(Ⅰ)设，．因为为等腰三角形，
假设，那么点在轴上，与矛盾，
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假设，那么，，
由，有，即，或，不合题意，
所以，那么，，
由，有，即，〔舍去〕或．
所以椭圆的离心率为．
(Ⅱ