文档介绍：数分课外习题
设,,证明数列收敛并求其极限.
求并由此证明Vieta公式:
用语言证明,若实数列满足,则
证明:并求
设,写出的表达式及定义域.
设,函数RR在附近有界,且对任意实数,,证明:在零点连续.
设为周期函数,且,证明: .
设为上连续函数,,
求证:方程的解为.
设函数在连续,有界,求证:,存在数列,使
请问是否存在R上的连续函数,使它的任一函数值都被恰好取到两次或都被恰好取到三次?
求证:在R上不存在可导函数满足
设,求
Riemann函数RR的定义是:
且为互素整数;
求极限 ,其中R .
证明Riemann函数处处不可导.
构造可导函数,使在有理数点的函数值为有理数,而导数值为无理数.
证明:当时,
求和:,
设,证明:
已知:函数在区间上连续,在可导,且,,求证:R,,使.
对于R上函数,记, 设在R上可导,R,,且,,,存在,
证明:
设可导,且对一切都有,那么在的任何两个零点之间,至少有的一个零点.
设RR有二阶连续导数,且R,,此外
证明:R,使
设R在可导且
证明:
函数在上二次可导且
证明:
设函数在可导,当时有求证:
设函数在可导,且,
证明:
设函数在连续,在可导, 求证:对于,存在,使
设为开区间,函数在上为凸函数的一个充要条件为:
求极限: (1)(2)
(3)
设证明:
设求极限:
画出的图形.
设,对于,求.
设函数连续可导,,且当时有,
证明:存在,且
设函数在上二阶连续可导,
证明:,并指出等号成立的条件.
设是严格单调增加的连续函数,是它的反函数,
证明:,
等号成立当且仅当。(上不等式称为Young不等式)
证明以下形式的Young不等式:,其中,,等号成立当且仅当
设在连续,,,证明Hölder不等式:
,
等号成立当且仅当,,为常数.
证明Hölder不等式:,其中,且,及为两组不全为零的非负实数.
设在连续,,证明Minkowski不等式:
证明:(1);
(2);
(3)证明Wallis公式:
证明: .
证明:数列单调下降故有极限,且.
证明Stirling公式:
估计当时,无穷大量的阶数.