文档介绍：1.⑴证明 6 不是有理数; ⑵ 3 + 2 是不是有理数?
q
证明⑴反设 6 是有理数,即 6 可表示为既约分数, 则有 6 = , p
p
q 2
和 q 互质. 两端平方, 6 = , 有 q 2 = 6 p 2 . 由 6 是偶数, ⇒ q 2 为偶数.
p 2
于是 q 必为偶数,可设 q = 2k , 有 4k 2 = 6 p 2 . ⇒ 3p 2 = 2k 2 , 即3p 2 为偶数,
而 3 为奇数, 因此 p 2 必为偶数,于是又有 p 为偶数.
综上,得 p 和 q 必为偶数. 这与 p 和 q 互质矛盾. 因此 6 不可能是有理数.
2
⑵假设 3 + 2 是有理数. 则其平方( 3 + 2) = 5 + 2 6 应为有理数.
但由上述⑴的结果, 6 不是有理数, 因此 2 6 ( 作为有理数与无理数的积)也
不是有理数. 于是 5 + 2 6 5 + 2 6
应为有理数矛盾. 因此 3 + 2 不是有理数.
2. 求下列数集的最大数和最小数,或证明它们不存在。
2π n
A = { x | x ≥ 0 } ; B = { sin x | 0 < x < } ; C = { | m , n ∈ N +并且n < m }.
3 m
解答 min A = 0 ; 但 max A不存在. 因为对∀x ∈ A , 有 x +1∈ A且 x +1 > x,
即 x 不是数集 A 的最大数. 因此数集 A 没有最大数.
⎛ 2π⎞
max B = 1; 但 min B 不存在. 因为对∀y ∈ B , ∃x ∈⎜ 0 , ⎟,使 y = sin x .
⎝ 3 ⎠
⎛π⎞⎛ 2π⎞
必∃x′∈⎜ 0 , ⎟⊂⎜ 0 , ⎟, 使 x′< x , ⇒ sin x′< sin x .即 y = sin x 不是数
⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠
集 B 的最小数. 既然数集 B 的任何元素都不是它的最小数,因此数集 B 没有最小数.
n
数集 C 既没有最大数,也没有最小数. 因为对数集 C 的任一元素, 一方面, 有
m
n +1 n n +1 n +1 n m − n
∈ C 而< ( 因为 0 < n < m 时,有−= > 0 ),可见
m +1 m m +1 m +1 m m(m +1)
n n n n n
不会是数集 C 的最大数; 另一方面, 有∈ C 而< ,可见也不会
m m +1 m +1 m m
是数集 C 的最小数. 于是数集 C 的任一元素既不会是最大数,
9
此数集 C 既没有最大数,也没有最小数.
3. A 和 B 是两个有界集. 证明:
⑴ A ∪ B 是有界集;
⑵ S = { x + y | x ∈A , y ∈B } 也是有界集.
证设 G1 > 0 和 G2 > 0 分别是 A 和 B 的界,即对∀x ∈A 和∀y ∈B , 分别有
| x | ≤ G1 和| y | ≤ G2 . 令 M = G1 + G2 .
⑴对∀x ∈ A ∪ B , x ∈A 时,有| x | ≤ G1 < M ; x ∈B 时,有| x | ≤ G2 < M .
总之有| x | ≤ M . 因此, A ∪ B 是有界集.
⑵∀a ∈S ,有 a = x + y , x ∈A , y ∈B .
| a | = | x + y | ≤| x | + | y | ≤ G1 + G2 = M .
因此, S 也是有界集.
4. 设数集 S T ={ x | − x ∈S } 有下界,且 sup S = − inf T.
证设 M 为数集 S 的上界,现证− M 为数集 T , ∀x ∈T ,有
− x ∈S ,由 M 为数集 S 的上界, 即有− x ≤ M , ⇒ x ≥−M .可见− M 为数集 T
的下界,即数集 T 有下界.
设β= sup S . 有β为数集 S 的上界, ⇒−β为数集 T 的下界,即∀x ∈T ,
有 x ≥−β; 对∀ε> 0 , 由β= sup S, ∃x′∈ S , ∋ x′> β−, − x′∈T ,
且有− x′< −β+ ε. 因此, −β是数集 T 的下确界, 即 inf T = −β, 或
β= −inf T , 亦即 sup S = − inf T.
5. 证明有界数集的上、下确界唯一.
证设β和β′都是数集 E ,由β