文档介绍：第二十二章各种积分间的联系与场论初步
§1 各种积分间的联系
应用格林公式计算下列积分:
(1) ,其中为椭圆,取正向;
(2) ,同(1);
(3) ,是顶点为的三角形的边界,取正向;
(4) ,为,取正向;
(5) ,为矩形的边界,取正向;
(6) ,其中是任意逐段光滑闭曲线.
利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积:
双纽线;
笛卡儿叶形线();
.
利用高斯公式求下列积分:
(1) ,其中
(a) 为立方体的边界曲面外侧;
(b) 为锥面,下侧.
(2) ,其中是单位球面的外侧;
设是上半球面的上侧,求
(a) ,
(b) ;
(4) ,是
的外侧.
用斯托克斯公式计算下列积分:
(1) ,其中
(a) 为圆周,方向是逆时针,
(b) 为所交的椭圆,从轴正向看去,按逆时针方向;
(2) ,是从经至回到的三角形;
(3) ,其中
(a) 为与三坐标轴的交线,其方向与所围平面区域上侧构成右手法则,
(b) 是曲线,它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则;
(4) ,是,从轴正向看去圆周是逆时针方向.
设为平面上封闭曲线,为平面上任意方向,证明
,
其中是的外法线方向.
设是封闭曲面,为任意固定方向,证明
.
求,为包围有界区域的光滑闭曲线,为的外法向.
,
其中是平面上一单连通区域的边界,而是上一点到外某一定点的距离,,则这个积分之值等于.
,
其中为简单封闭光滑曲面,为曲面上在点处的外法向,.试对下列两种情形进行讨论:
曲面包围的区域不含点;
曲面包围的区域含点.
:
,
其中是包围的分片光滑封闭曲面,为的外法线方向.,.分下列两种情形精心讨论:
(1) 中不含原点(0,0,0);
(2) 中含原点(0,0,0)时,令
,
其中是以原点为心,以为半径的球.
:
(1) ;
(2) ,
其中,,是曲面的外法线方向余弦.
,并设
.
证明:
(1) ;
(2) ;
(3) .
其中为闭曲线所围的平面区域,为沿外法线的方向导数.
,证明:
(1) ;
(2) .
式中在及其边界曲面上有连续的二阶偏导数,为沿曲面的外法线的方向导数.
:
(1) ,其中是下侧;
(2) 是立体的边界面,而立体由和三坐标面围成;
(3) ,其中是的外法向,为上侧;
(4) 是后侧.
,
式中,,为曲面的外法线的方向余弦.
,它所包围区域的面积为
,求
,
其中依正向进行.
,且对任意光滑闭曲面,有
.
证明.
,而且以任意点为中心,以任意正数为半径的上半圆: ,恒有
,
求证:.
§2 积分与路径无关
验证下列积分与路径无关,并求它们的值:
(1) ;
(2) 沿在右半平面的路径;
(3) 沿不通过原点的路径;
(4) ,式中是连续函数;
(5) ,其中,为连续函数;
(6) ;