文档介绍：不等式选讲第11课时
二维形式的柯西不等式
学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
4 a b
分析：注意到-+--（«+/?）（-+-）,有了（□+"）（［+上）就可以用柯西不等 a b a b a b
式了。
课堂练习：已知x+2y=l,求x2+y2的最小值.
几何意义：设a,”为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A
（a,b ）, B （ c,d ）,那么它们的数量积为a邛=ac十bd ,
而| a |= a~ +b~ , | /31= Vc2 +d2 ,
所以柯西不等式的几何意义就是：|庆| • | ”闫。・”|,
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设a,”为平面上的两个向量，则
|«|-|/?|>|«./7|,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成
立。
3、定理3：（三角形不等式）设xl,yl,x2,y2,x3,y3^j任意实数，则：
—工2）2 +（J1 ~y2Y + J（》2 -工3）~ +（、2 - 一3）~ - J（》l -工3）~ +（N1 -—3）?
分析：（课件）
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
小结：灵活运用类似a+b=l等式子，把问题化成可以应用柯西不等式的结构，是解决问题的关键。
作业：P37 页，4, 5, 7, 8, 9
不等式选讲第12课时
一般形式的柯西不等式
学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
，体会运用经典不等式的一般方法重点难点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
教学过程：
：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则
（a2+b2）（c2 +d2）>（ac+bd）2 ,其中等号当且仅当ad = bc时成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设a , p为平面上的两个向量，则|。| • |月|2|。•月|, 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
定理3：（三角形不等式）设羽，乂,》2，%，》3，巧为任意实数,则:
J（石一X2I +（M 一光尸一易））+（% 一巧）2 > J（石一+（力一力）?
—.新课
类似的，从空间向量的几何背景业能得到||<|a|| B|.将空间向量的坐标代入，可得到
（a； +a22 +a32）（肾 +b22 +b32） > +a2b2 +a3b3）2当且仅当 a，日共线时,
即3 = 6 ,或存在一个实数k,使得a,=饱（/ = 1, 2, 3）时，等戢立.
这就是三维形式的柯西不等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？
4、定理4：（一般形式的柯西不等式）：设〃为大于1的自然数，%也 3 = 1, 2,…，
n n n h h h
〃）为任意实数，则：y<y&,.2 >（y«A）2-其中等号当且仅当—=工=・“=工时 i=l z=l /