文档介绍：第一章绪论例 1-1 求下列微分方程 23xdx dy?的通解,并分别求满足下列条件的特解。(1 )通过点)1,2( ; (2 )与直线 xy?相切; (3 )与直线 13???xy 正交。解直接积分得方程的通解为 Cxy?? 3 。(1 )将代入通解中 1,2??yx 得7??C ,则通过点)1,2( 解为7 3??xy 。(2 )与直线 xy?相切的解满足在切点处斜率相同,有 13 2?x ,即得 3 1??x ,切点坐标为)3 1,3 1( 和)3 1,3 1(??。同( 1 )的解法,与直线 xy?相切的解为 33 2 3??xy 和33 2 3??xy 。(3 )与直线 13???xy 正交的解在正交点处斜率满足 3 13 2?x ,即得 3 1??x ,正交点坐标为)0,3 1( 和)2,3 1(?。同( 1 )的解法所求方程的解为 27 55 3??xy 和27 1 3??xy 。评注: 求方程满足某条件的特解,关键要找到所求积分曲线经过的某一特定点的坐标, 代入通解中确定出任意常数即可得特解。例 1-2 求与曲线族 x Ce y?正交的曲线族。解因为曲线族 x Ce y?满足的微分方程为 yy??,所以与曲线族 x Ce y?正交的曲线族满足的微分方程为 y y 1???,解之得 Cxy???2 2 ,这就是所求曲线族方程。评注: 首先对已给定的曲线族求得其满足的微分方程, 其次借助于正交性得到所求曲线族满足的微分方程, 再求解此微分方程。有时直接给出一个微分方程, 要求求得与此微分方程的积分曲线族正交(或夹角为某一固定值)的曲线族。例 1-3 求一曲线方程,使曲线上任一点平分过该点的法线在两坐标轴之间的线段。解设所求的曲线为)(xyy?,过曲线上任一点),(yx 的法线方程为 yxXy Y?????)( 1 , 它与yx, 轴的交点分别为),0( ),0,(yy xxyy????,由题可得???????????yy xy xyyx2 2 , 故这条曲线满足方程?????????y xy yyx ,即y xdx dy?, 解之得 Cxy?? 22 ,这就是所求曲线方程。评注: 根据题目的具体已知条件和基本的数学公式及定理建立等式关系,