文档介绍：对称正定矩阵
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平方根法
一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解)
记为
-------------(1)
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对称正定矩阵
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平方根法
一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解)
记为
-------------(1)
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因此
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Diagonal:对角
为非奇异下三角阵
为非奇异上三角阵
----------(2)
--------(3)
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因此
所以
综合以上分析,
则有
-------------(4)
-------------(5)
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定理1. (Cholesky分解)
且该分解式唯一
这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解
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-------------(6)
-------------(7)
-------------(8)
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二、对称正定线性方程组的解法
线性方程组
-------------(10)
-------------(11)
则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组
-------------(12)
-------------(13)
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------(14)
------(15)
对称正定方程
组的平方根法
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例1.
用平方根法解对称正定方程组
解:
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即
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所以原方程组的解为
思考
本例中出现了大量的根式运算
原因为
考虑改变分解方式
请求解例1.
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三、平方根法的数值稳定性
用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元
由
可知
因此
平方根法是数值稳定的
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解
而不必加入选主元步骤
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