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数分高代定理大全
《高等代数》
第一章
带余除法对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.
定理 1 对于数域上的任化，而
.
定理 4 是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么 .
定理 5 任意一个矩阵都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，主对角线上1的个数等于的秩（1的个数可以是零）.
定理 6 级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：
第五章
定理 1 数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和.
定理 2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规形，且规形是唯一的。
定理 4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规形，且规形是唯一的。
定理 5 （1）任一复对称矩阵都合同于一个下述形式的对角矩阵;
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,其中，对角线上1的个数等于的秩.
（2）任一实对称矩阵都合同于一个下述形式的对角矩阵：
，其中对角线上1的个数及-1的个数（是的秩）都是唯一确定的，分别称为的正、称为的符号差.
定理 6 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于.
定理 7 实二次型
是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零.
定理 8 对于实二次型，其中是实对称的，下列条件等价：
（1）是半正定的，
（2）它的正惯性指数与秩相等，
（3）有可逆实矩阵，使
其中，
（4）有实矩阵使，
（5）的所有主子式皆大于或等于零.
第六章
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定理 1 如果在线性空间中有个线性无关的向量，且中任一向量都可以用它们线性表出，那么是维的，而就是的一组基.
定理 2 如果线性空间的非空子集合对于的两种运算是封闭的，那么就是一个子空间.
定理 3 1））的维数等于向量组的秩.
定理 4 设是数域上维线性空间的一个维子空间，是的一组基，，在中必定可以找到个向量，使得是的一组基.
定理 5 如果是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的子空间.
定理 6 如果是的子空间，那么它们的和也是的子空间.
定理 7 （维数公式）如果是线性空间的两个子空间，那么
维（）+维（）=维（）+维（）.
定理 8 和是直和的充分必要条件是等式
只有在全为零向量时才成立.
定理 9 设是的子空间，令，则的充分必要条件为
维（）=维（）+维（）.
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定理 10 设是线性空间的一个子空间，那么一定存在一个子空间使
.
定理 11 是的一些子空间，下面这些条件是等价的：
1）是直和；
2）零向量的表法唯一；
3）；
4）维（）=.
定理 12 数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.
第七章
定理 1 设是线性空间的一组基，是中任意使.
定理 2 设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，：
线性变换的和对应于矩阵的和；
线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理 3 设线性变换在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是，则在基下的坐标可以按公式
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计算.
定理 4 设线性空间中线性变换在两组基
（6）
（7）
下的矩阵分别为和，从基（6）到基（7）的过渡矩阵是，于是.
定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
定理 6 相似的矩阵有相同的特征多项式.
哈密尔顿—凯莱（Hamilton-Caylay）定理设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，则
.
定理 7 设是维线性空间的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，有个线性无关的特征向量.
定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
定理 9 如果是线性变换的不同的特征值，而是属于特征值的