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数分高代定理大全
《高等代数》
第一章
带余除法对于中任意两个多项式与,其中,一定有中的多项式存在,使成立,其中或者,并且这样的是唯一决定的.
定理1对于数域上的任意两个多项式,其中的充分必要条件是除的余式为零.
定理2对于中任意两个多项式,,在中存在一个最大公因式,且可以表示成,的一个组合,即有中多项式使.
定理3中两个多项式,互素的充分必要条件是有中的多项式使.
定理4如果,且,那么.
定理5如果是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式,由一定推出或者.
,如果有两个分解式
一个整系数多项式,如果有一个素数,使得
1.;
2.;
3.
那么在有理数域上是不可约的.
第二章
定理1对换改变排列的奇偶性.
定理2任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.
定理3设,表示元素的代数余子式,则下列公式成立:
定理4(克拉默法则)如果线性方程组
的系数矩阵
的行列式,
那么该线性方程组有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的行列式,即
定理5如果齐次线性方程组
的系数矩阵的行列式,,如果该方程组有非零解,那么必有.
定理6(拉普拉斯定理).
定理7两个级行列式和
的乘积等于一个级行列式,其中是的第行元素分别与的第列的对应元素乘积之和:.
第三章
定理1在齐次线性方程组
中,如果,那么它必有非零解.
定理2设与是两个向量组,如果
1)向量组可以经线性表出,
2),
那么向量组必线性相关.
定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量
定理4矩阵的行秩与列秩相等.
定理5矩阵
的行列式为零的充分必要条件是的秩小于.
定理6一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零,同时所有级子式全为零.
定理7(线性方程组有解判别定理)线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。
定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解的个数等于,这里表示系数矩阵的秩.
定理9如果是方程组的一个特解,那么该方程组的任一个解都可以表成,,对于方程组的任一个特解,当取遍它的导出组的全部解时,就给出本方程组的全部解.
第四章
定理1设是数域上的两个矩阵,那么,即矩阵的乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
定理2设是数域上矩阵,是数域上矩阵,于是,即乘积的秩不超过各因子的秩.
定理3矩阵是可逆的充分必要条件是非退化,而
.
定理4是一个矩阵,如果是可逆矩阵,是可逆矩阵,那么.
定理5任意一个矩阵都与一形式为的矩阵等价,它称为矩阵的标准形,主对角线上1的个数等于的秩(1的个数可以是零).
定理6级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积:
第五章
定理1数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和.
定理2在数域上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
定理3任意一个复系数的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯一的。
定理4任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯一的。
定理5(1)任一复对称矩阵都合同于一个下述形式的对角矩阵;
,其中,对角线上1的个数等于的秩.
(2)任一实对称矩阵都合同于一个下述形式的对角矩阵:
,其中对角线上1的个数及-1的个数(是的秩)都是唯一确定的,分别称为的正、.
定理6元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于.
定理7实二次型
是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零.
定理8对于实二次型,其中是实对称的,下列条件等价:
(1)是半正定的,
(2)它的正惯性指数与秩相等,
(3)有可逆实矩阵,使
其中,
(4)有实矩阵使,
(5)的所有主子式皆大于或等于零.
第六章
定理1如果在线性空间中有个线性无关的向量,且中任一向量都可以用它们线性表出,那么是维的,而就是的一组基.
定理2如果线性空间的非空子集合对于的两种运算是封闭的,那么就是一个子空间.
定理31))的维数等于向量组的秩.
定理4设是数域上维线性空间的一个维子空间,是的一组基,,在中必定可以找
到个向量,使得是的一组基.
定理5如果是线性空间的两个子空间,那么它们的交也是的子空间.
定理6如果是的子空间,那么它们的和也是的子空间.
定理7(维数公式)如果是线性空间的两个子空间,那么
维()+维()=维()+维().
定理8和是直和的充分必要条件是等式
只有在全为零向量时才成立.
定理9设是的子空间,令,则的充分必要条件为
维()=维()+维().
定理10设是线性空间的一个子空间,那么一定存在一个子空间使
.
定理11是的一些子空间,下面这些条件是等价的:
1)是直和;
2)零向量的表法唯一;
3);
4)维()=.
定理12数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.
第七章
定理1设是线性空间的一组基,