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内蒙古财经大学本科毕业论文
正定矩阵的cation of positive definite matrices.
Key words:Quadratic formPositive definite matri*Determination method
Application
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目录
引言1
一、正定矩阵的定义1
二、正定矩阵的性质2
三、正定矩阵的有关定理6
四、正定矩阵的判定方法9
〔一〕定义法9
〔二〕主子式法10
〔三〕特征值法11
〔四〕与单位矩阵合同法12
五、正定矩阵的应用13
〔一〕正定矩阵在不等式中的应用13
〔二〕正定矩阵在多元函数极值问题中的应用14
总结16
参考文献16
后记17
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正定矩阵的性质及应用
引言
矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门根底学科，也是最具有使用价值，应用很广泛的数学理论．矩阵是矩阵理论中一个重要根本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用．二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上文字的正定二次型与阶正定矩阵是一一对应的，本文首先运用二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义．其次本文证明了正定矩阵的一些实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了数学中不等式的证明和多元函数极值的问题．
正定矩阵的定义
定义1[3]设均为实常数，则关于个实变量的二次齐次多项式函数
，
称为元实二次型．
定义2[3]只含有平方项的二次型称为标准形，即
．
定义3[3]　假设二次型的标准形中的系数仅为，则此标准形称为二次型的标准形．
定义4 [1] 　实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数
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，都有；如果都有，则称为负定的；如果都有，则称为半正定的；如果都有，则称为半负定的；如果二次型既不是半正定又不是半负定，则就称为不定的．
定义5[1] 假设实数域上的元二次型是正定二次型〔负定二次型〕，则称为正定矩阵〔负定矩阵〕；假设二次型是半正定二次型〔半负定二次型〕，则称为半正定矩阵〔半负定矩阵〕．其中
，．
定义6[1]　子式
称为矩阵的阶顺序主子式．
下面是正定矩阵的一些等价条件．
定理1[8]设是阶实对称矩阵，则以下命题等价：
(1)是正定矩阵．
(2)的正惯性指数等于．
(3)的特征值全大于零．
(4)合同于阶单位矩阵．
(5)合同于主对角元大于零的对角矩阵．
(6)存在可逆矩阵，使得，其中表示的转置．
注：二次型的正定〔负定〕，半正定〔半负定〕统称为二次型及其矩阵的有定性．不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的．二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系．因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的正定性的判定．
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正定矩阵的性质
性质1[1]　正定矩阵的行列式大于零．
证明　设是正定矩阵．因为与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵使
．
两边取行列式，有．
推论1[1]　假设是正定矩阵，则的顺序主子式全大于零．
证明　设二次型是正定的．对于每个，令．下面证明是一个元的正定二次型．对于任意一组不全为零的实数，有
．
因此是正定的．由性质１可知，的矩阵的行列式
．
这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零．
性质2 [