文档介绍：§ 4平面向量基本定理及坐标表示
4. 1平面向量基本定理
学****任务
核心素养
理解平面向量基本定理及其意义（重点）.
体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题（难点）.
通过平面向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理与数学］如图，MN=CN—CM=^CA—^CB=—jAC—^(AB—AC)=^AC— A
|扁=3一京 /rX\
同理可得晶==a-=b. b M c
— — — — 1 1
PM= -MP= 一 (MN+NP)=§a+矽.
rAB+BE=-AD+AB+BE=-b-lra+^b=a-^b,
「母题探究］
若本例中其他条件不变，设DE=a, BF=b,试以a,方为基表示AB, AD.
［解J取CF的中点G,连接EG.
•:E、G分别为BC, CF的中点，
— 1—1 1
:.EG=^BF=^b, .・・DG=DE+EG=，+砂.
n F C.
— 3 — 3 — 又 U：DG=^DC=^AB,
又'：AD=BC^BF+FC=BF+^DC=BF+^AB,
, 4
= 3a+3b-
类型3平面向量基本足理的应用
【例3】如图，在如覆。中，点肱是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC, AM 与BN相交于点P,求AP : PM与BP ： PN的值.
A
BMC
［解］设BM=ei，CN=ei,
则AM=AC+CM=-3e2~ei, BN=BC+^=+e2.
,:A, P, M和B, P, N分别共线，
存在实数；l, “使得猥=14万=一屁1一3如2，泓=面=2的十炒.
故荔=茹+以=苏一房=Q+2〃)ei+(3人+/，)〃.
而BA=BC+CA^2el+3e2,由平面向量基本定理，
pL+2〃=2, ［；=5,
得v工a解得彳2
［3人+//=3, 3
V 5'
—► 4 ~* —► 3一
:.AP=-^AMf BP=gBN,
3
:.AP : PM=4, BP : PN=q.
［母题探究］
，若CM=a, &=b,试用①力表示
A 2 A A A A A 2 A O A A
［解］由例 3 解析知 BP : PN=q,则迎=萨,CP= CN+ NP=CN+gNB=b+g(CB—CN)
45°
4
2-^3
，其它条件不变，求AP : PM与BP：PN的值.
一一 A
［解］如图，设BM=ei，CN=e2,
则 AM=AC+3t=-2e2~ei,
_ _ — BMC
BN=BC+CN=2e\+e2.
VA, P, M和B, P, N分别共线，
.•.存在实数久，〃使得房=14方=一如1一2如2，
BP=fiBN=2jne\ +庭2.
故 BA=BP+B4=BP-AP=(2+2/z>i + (2A+//>2.
而BA=BC+CA=2ei+2e2,由平面向量基本定理，
,p+2//=2,
得1 ,
〔2义+“=2,
解得3 9
[“=].
:.AP=^AM, BP=^BN,
:.AP : PM=2, BP : PN=2.
厂 •反思领悟
事实上，母题探究2给出了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 : 1.
，对向量酗算了两次，然后根据平面向量基本定理可知其对应向量系数相等，从而可得关于人的方程组，“算两次"，是一种重要的数学方法
.
[跟进训练]
如图，如48。中，点Q是AC的中点，点E是的中点，设BA=a, BC=c.
⑴用a, c表示向量AE；
⑵若点 F 在 AC 上，且BF=|a+|c, AF : CF.
[解](iy：AC=BC~BA=c~a,
一 ]一 1
AD=了4。=万(c—a),
~~~► ] -► ] ~► ] ] ] 3
.\AE=^(AB+AD)=^AB+^AD=—^a+-7(c—a)=-7c—7a.
(2)设AF=Z4C,
―► ―► ―► ―► ―► ―► 1 4
:.BF=BA+AF=BA+AAC=a+A(c-a) = (l-A)a+2,=孑+厅c,
—4 —
.,.AF=^AC,
:.AF : CF=4 : 1.
［当堂达标・夯基础］课堂知识检测•小结问题点评
（多选题）已知平行四边形ABCD,^列各组向量中，不是该平面内所有向量基的是（）
―► ―A ―A ―A
A. AB, DC B. AD, BC
C. AD, CB D. AB, M）
ABC ［结合图形及基的概念知只有D是基，故选ABC