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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
向量与其线性运算
向量，向量曲线 L 围成，函数在
D 上具有连续一阶偏导数, 则有
2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则
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曲线积分在内与路径无关
曲线积分
在内为某一个函数的全微分
对面积的曲面积分
定义：
设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，
定义
计算：———“一单值显函数、二投影、三代入”
，，则
对坐标的曲面积分
预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量
定义：
设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义
同理，
性质：
1），则
2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则
计算：——“一投二代三定号”
，，在上具有一阶连续偏导数，在
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上连续，则,为上侧取“ + ”，为下侧取“ - ”.
两类曲面积分之间的关系：
其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
高斯公式
高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有
或
*通量与散度*
通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：
散度：
*斯托克斯公式*
斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
*环流量与旋度*
环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为
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旋度：
第十二章无穷级数
常数项级数
定义：
1）无穷级数：
部分与：，
正项级数：，
交错级数：，
2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散
3）条件收敛：收敛，而发散；
绝对收敛：收敛。
性质：
改变有限项不影响级数的收敛性；
级数，收敛，则收敛；
级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；
必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）
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审敛法
正项级数：，
定义：存在；
收敛有界；
比较审敛法：，为正项级数，且
若收敛，则收敛；若发散，则发散.
比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，，而发散，则发散.
比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.
比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.
*根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.
极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在
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，使得，则级数收敛.
交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。
任意项级数：
绝对收敛，则收敛。
常见典型级数：几何级数：
p -级数：
函数项级数
定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，与函数；
幂级数：
收敛半径的求法：，则收敛半径
泰勒级数
展开步骤：（直接展开法）
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求出；
求出；
写出；
验证是否成立。
间接展开法：（利用已知函数的展开式）
1）；
2）；
3）；
4）；
5）
6）
7）
8）
*傅里叶级数*
定义：
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正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。
傅里叶级数：
系数：
收敛定理：(展开定理)
设 f (x) 是周期为2p的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
傅里叶展开：
①求出系数：；
②写出傅里叶级数；
③根据收敛定理判定收敛性。
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