文档介绍：第九章:定态微扰论
[1]设非简谐振子的哈密顿量为:
(为常数)
取,,试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。
(解)一级能量本征值修正量:本题是一维、无简并的,按本章§,从§:
,
但(1)
(2)
但根据§,一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的(或奇或偶),因而必定是个偶函数。(2)式中被积函数就应是奇函数,又因积分限等值异号,结果有:
一级波函数修正值:据§[12b]
(3)
微扰矩阵元要涉及厄密多项式相乘积的积分,为此利用关于的一个递推公式(,问题2):
(4)
将此式遍乘,再重复使用(4)
再将此式遍乘,重复使用(4)式
=
(6)
利用公式(6)来计算微扰矩阵元:
将(6)式中的换成代入前一式,并注意是正交归一化的,即
是固定指标,故只有当取下述四值时不为零,即
但要注意,当取用一个值时,就不能再取其他值,所以取定后的非零值是(7)式中某个的系数。(3)的求和是式只有四项。
有: , ,
, (9)
将(7)和(9)所决定的诸值代入(3)
二能级量本征值修正量:按二级近似式是
(11)
其中,二级修正量是个数量的和,它也用(7)式来计算,并也包括四个项:
[2]一维无限深势阱()中的粒子受到微扰:
的作用,求基态能量的一级修正。
图345
(解)本题是一维无简并问题,无微扰时的能量本征函数
(1)
能量本征值
(2)
对基态,计算能量的一级修正量时,因微扰是分段连续的,因而要求两个积分式的和
利用定积分公式:
(4)
代入(3);得
附带地指出:对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算,可以用同样步骤得到,第K个激发态的一级修正:
#
[3]设有一个三维转子处于基态,转动惯量I,它沿转轴方向有一个电偶极矩现加上一个外电场,可以视作微扰,试用微扰论求能量二级修正值。
图347
(解)三维转子可看作哑铃状或棒状体,回绕其中点0作三维的转动,位置由球极座标决定。由于点(棒一端)的矢径是常量,哈密顿符是:
式中是转子轴长度之半,I是转动惯量(关于与棒身垂直的转轴),角动量平方算符,按
,公式(29)
(2)
因此无微扰时,势能为零,而能量本征方程式是:
(3)
它的解是球谐函数:
能量本征值是:
(4)
假定转子是电偶极子,电矩是D,则D=(电荷),同时加上沿方向的电场后,转子获得附加的偶矩电势能,作为微扰看待:
(5)
本题限于基态能量,但最低的能级相当于,当不存在微扰时,基态能量本征值
二能量修正值:可以利用球谐函数的递推公式
在计算时可在上式中令得:
(9)
计算时,可在(8)式中,令得:
(11)
(球谐函数正交性)
同理可证,等都是零。
零阶能量
代入(7)式(仅有一项):
本题中的球谐函数的递推公式(8)可参看课本附录四()公式(37)、(38)等。
#
[4]平面内的转子,除了受到沿方向的均匀电场的作用外,还受到沿轴方向的均匀磁场的作用,试用微扰理论计算转子的能量。
(解)平面转子可看作绕一固定点0转动的棒,可用棒与0轴间夹角定位,哈氏算符:
(1)
无微扰能量本征函数:
(2)
图350
转子是一偶极子,它具有电偶极矩D,因而在平行于0轴的电场作用下具有偶极势能:
转子又在平行于轴的匀强磁场中运动,由于电荷的运动相当于园电流,而电流在磁场中具有磁势能,磁势能由磁距决定,磁距又与角动量成正比:
磁距
附加磁势能: (4)
微扰算符(5)
当微扰未加上时,转子的本征方程式如下: (6)
从这里得到能量的本征函数:
(7)
本征值是: (8)
由此可知不论磁量子数是何值,能量总是二度简并的,但能证明,在考虑能量一级修正量时,使用非简并微扰法和使用有简并微扰法二者的结果,对同一值是相同的,用非简并微扰法,先求矩阵元:
这个式子可以用来计算一级和二级能量修正值。
对一级能量修正:
(10)
对二级能量修正值:
从(9)式知道,只有二种值对于有贡献,即
,
(讨论)本题按照原理应当作为有简并的微扰问题处理,从(7)式可知相应于同一能级,对应于两个不同的本征函数:
因此在考虑微扰时,正确的零级波函数应表示作:
(11)
代入有微扰的能量本征方程式以后,知道的非平凡解要求下述久期方程式成立:
从矩阵元计算式(9),将代入,得
又将代入,得
要求另两个矩阵元,可以计算第一指标为-m的矩阵元,它可以从(9)式推得:
此式