文档介绍：第三章数值微分与数值积分
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(1) 利用插值函数求数值导数
f (x) ~ Pn (x) , f '(x) ~ P'n (x).
有可能 Pn (x) 逼近 f (x) 很好,但 P'n (x) 逼近 f '(x) 较差!所以要进行误差估计
f (n+1) (ξ)
Q f (x) = Pn (x) + ωn+1 (x),
(n +1)!
d f (n+1) (ξ) d f (n+1) (ξ) f (n+1) (ξ) d
\ f '(x) = P' (x) + ( ω(x)) = P' (x) + ( ) ´ω(x) + ´ (ω(x));
n dx (n +1)! n+1 n dx (n +1)! n+1 (n +1)! dx n+1
'
由于ξ= ξ(x) ,所以无法精确估计 f '(x) ­ Pn (x) ;
f (n+1) (ξ)
但有 f '(x ) ­ P ' (x ) = i ω' (x ) 。
i n i (n + 1)! n+1 i
(i) 两点公式
x0 x1
f (x ) f (x ) 1
f (x) = P (x) + R (x) = 0 (x ­ x) + 1 (x ­ x ) + f ''(ξ)(x ­ x )(x ­ x ).
1 1 h 1 h 0 2! 0 1
f (x ) ­ f (x ) 2x ­ x ­ x (x ­ x )(x ­ x ) d
Þ f '(x) = 1 0 + 0 1 f ''(ξ) + 0 1 [ f ''(ξ)],
h 2 2 dx
f (x ) ­ f (x )
\ f '(x) » P' (x) = 1 0 ,
1 h
f (x ) ­ f (x ) h
f '(x ) = 1 0 ­ f ''(ξ),
0 h 2 1
f (x ) ­ f (x ) h
f '(x ) = 1 0 + f ''(ξ).
1 h 2 2
h h
f ''(ξ) £ M , 其中 M = max f ''(x) ,此时截断误差为 O(h);
2 2 xÎ[x0 ,x1]
(ii) 三点公式( n = 2 ),
ì 1 h 2
ï f '(x0 ) = [­3 f (x0 ) + 4 f (x1 ) ­ f (x2 )] + f '''(ξ 0 );
ï 2h 3
ï 1 h 2
í f '(x1 ) = [­ f (x0 ) + f (x2 )] ­ f '''(ξ1 );
2h 6
ï 2
ï 1 h
f '(x2 ) = [ f (x0 ) ­ 4 f (x1 ) + 3 f (x2 )] + f '''(ξ 2 );.
îï 2h 3
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得三点公式
ì 1
f '(x ) » P' (x ) = [­3 f (x ) + 4 f (x ) ­ f (x )];
ï 0 2 0 2h 0 1 2
ï 1
í f '(x1 ) » P'2 (x1 ) = [­ f (x0 ) + f (x2 )];
ï 2h
ï 1