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跳跃函数的最小二乘法拟合
目录
一跳跃函数拟合的方法………………………………………………1
最小二乘法的原理……………………………………………………
多项式拟合……………………………………………………………
分段三次曲线拟合……………………………………………………
B样条拟合……………………………………………………………
二实例检验………………………………………………………………
多项式拟合…………………………………………………………
分段三次曲线拟合…………………………………………………
B样条拟合…………………………………………………………
参考文献…………………………………………
附录………………………………………………
装
订
线
一跳跃函数拟合的方法
我们在科学实验中经常见到的实验数据是(这里),要将它曲线拟合就是要求一个函数与所给的数据拟合,若记误差,,设是上线性无关函数族,在中找一函数,使误差平方和
, (1)
这里
(n<m). (2)
这就是一般的最小二乘逼近,也就是曲线拟合的最小二乘法。用最小二乘法求拟合曲线的问题,就是在形如(2)式的中求一函数,使(1)式的值最小。
多项式拟合
由曲线拟合的最小二乘法得出可将求(2)式的值最小装化为求多元函数
的极小点的问题。由多元函数极值的必要条件,有.
即
.
用内积表示为线性方程组
,
其矩阵形式为
.
可以证明只要在点集上满足哈尔条件,。
给定的离散数据,要确定是困难的,一般可取(显然在任意个点上满足哈尔条件),但这样做当时将出现系数矩阵病态的问题,所以要采用其他的方法进行拟合。
分段三次曲线拟合
在加入使相邻曲线连续即曲线边界点连续这一约束条件,我们可以采用分段三次曲线拟合的方法,从而由五个数据点就可以拟合一条三次曲线,再由最小二乘法可以解出三次曲线的系数,即得到每一段的拟合曲线。
设有n个数据点,由于在分段时要使相邻曲线连续这一约束条件,因此使用五个数据点来拟合一条三次曲线。先将第一到第五个数据分为第一段,再将第五到第九个数据分为一段,重叠的第五个数据保证了拟合后的曲线的连续性,其他的依次类推;然后对各段数据分别进行拟合。易知n个数据应分为段,即有段拟合曲线,即拟合完成。
下面写出任意一段数据的拟合方法,其他的依此进行。令某段数据的三次拟合曲线函数为:。易知可以将此曲线分解为奇偶两个函数:奇函数和偶函数。然后根据最小二乘法求拟合曲线的系数。
由于在每段数据的第一点和最后一点均两次参与拟合(第一段数据的第一点和最后一段数据的最后一点仅参与一次拟合,但由于数据点较多,可以忽略不计),故而在求拟合方差时要进行加权,以增加拟合的精确度。按照平均分配的原则,每个点的权值为
。由此可得到这段数据拟合的方差:
(3)
曲线表示为奇偶函数的形式为:
(4)
由(4)式可以得出
(5)
同样的对原数据也进行处理,即令: ,也可得:
(6)
因此拟合的方差为:
= (7)
即对的方差可看作是奇函数和偶函数分别方差的叠加。要使拟合后的总方差最小,即为0,那么奇函数和偶函数的方差都要为0。
易知奇函数拟合的方差为:
(8)
因此,即奇函数的拟合方差为0,达到最佳逼近。所以
令,解得。
同样,可得偶函数的拟合方差为:
(9)
由(5)式可知在边界点上
,
由边界点连续,令, (10)
为了计算方便,令
(11)
令,有
,解得
(12)
由上式可知三次曲线函数的系数啊,的取值与边界点有关,将(12)式代入(11)式得: 。
故,再令,有
,解得
(13)
联立(10)式、(12)式、(13)式,解得
最后得到三次拟合曲线的表达式为
B样条拟合
二实例检验
多项式拟合
:
已知数据点来自函数,试用多项式拟合来拟合它们。
其实现的matlab代码如下:
>> clear all;
x0=-1+2*[0:10]/10;
y0=(x0.^2+3*x0+5).^exp(-5*x0).^sin(x0);
x=-1::1;
y=(x.^2+3*x+5).^exp(-5*x).^sin(x);
p3=polyfit(x0,y0,3);ye=polyval(p3,x);
p5=polyfit(x0,y0,5);yf=polyval(p5,x);