文档介绍：第六章  矩阵的分解 
  方阵的三角分解 
定义 1  如果方阵可以分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵
的乘积, ,则称方阵可做三角分解(或 LU 分解) 
    若方阵可做三角分解,则分解不唯一.  ,其
中是任意可逆对角阵. 
定理 1  n 阶方阵可做三角分解的充分必要条件是的顺序主子式
.且这时可以唯
1 的上下三角阵,
. 
  单纯矩阵分解 
定义 1  若 n 阶方阵相似于对角阵,则称为单纯矩阵. 
定理 1  设 n 阶方阵为单纯矩阵, 是的互异特征值,
 
(i)   ,  称的谱分解,  称的谱族. 
(ii)       (iii)    ,    
(iv)    
(v)     
推论  设,单纯矩阵的谱分解为,则
. 
  矩阵的最大秩分解 
定理 1  设, ,则可经过有限次初
等行变换把化为行最简形式 
   
其中, 号的元素可以不为零, 的第个列
向量为,第 i 个元素为 1, . 
引理  分块矩阵经过一次初等行变换后化为矩阵
,则 
证明  ,其中是相应的初等矩阵. ,而
,由初等变换不改变方程组的解,即
. 
定理 2  设,  ,则可将做满秩分
解( 或称最大秩分解),  . 其中, 且
,即是列满秩的, 是行满秩的. 
证明  对作初等行变换化为行最简形式,令,
r 行所构成的矩阵,即
 
事实上,易见的任一列向量均可由表示出来,且表
示系数为的第 j 个列向量,
得第 j 个列向量可由表示出来,且表示系数为的第 j
个列向量,
. 
例 1  求矩阵的最大秩分解 
解   
则 
    注意,由,其中为任意 r 阶可逆方阵,
所以矩阵的最大秩分解不唯一. 
定理 3  设,  .若
均为的最大秩分解,则 
(i)  存在 r