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本节讨论一个复矩阵可以分解为两个与的秩相同的矩阵之积的问题。
,如果存在两个与的秩相同的复矩阵与,使得,则称此式为复矩阵的满秩分解。
当是满秩矩阵时(行满秩或列满秩)可以分解为单位矩阵与自身的乘积,这个满秩分解叫做平凡分解。
,则有满秩分解。
证:因为,对施行初等行变换,可得到阶梯形矩阵,
其中为矩阵,并且;因此存在着有限个阶初等矩阵之积,
记作,有,或者,将矩阵分块为,其中为矩阵,为矩阵,并且,。
则有,其中是列满秩矩阵,是行满秩矩阵。▌
但是,矩阵的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个阶非奇异矩阵,则有
。
求矩阵的满秩分解。
解:对矩阵进行初等行变换
其中所以,;而,其中
由此可见,所以有。
,并且满足以下条件:
1)矩阵的前行中的每一行至少含有一个不为零的元素,并且第一个不为零的元素是1,而后行的元素均为零;
2)如果矩阵的第行的第一个不为零的元素1在第列,
则;
3)矩阵的列是单位矩阵的前列;
则称矩阵为Hermite标准形(最简型)。
由此定义可见,对于任意一个秩为的复矩阵,均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形,而且矩阵的前列元素组成的列向量组线性无关。
。其中是的一个全排列。
,矩阵的Hermite标准形为,则在矩阵的满秩分解中,可以取矩阵为的列构成的列矩阵,为的前行构成的列矩阵。
例2、求矩阵的满秩分解。
解:先求出矩阵的Hermite标准形
,的第1列与第2列构成的前两列,所以矩阵为的第1列与第2列构成的矩阵,为的前2行构成的矩阵,即,,
所以。
对比例1,可以看出矩阵的满秩分解不唯一。