文档介绍：第二章范数理论及其应用 1
第二章范数理论及其应用
§ 向量范数
中向量序列的收敛性
()k ()k ()k (k ) (k )
设 x = (ξ1 , ,ξ n ),若 limξ i = ξ i (i = 1,2, ,n),称{x }收敛于
L k→∞ L
(k ) (k )
x = (ξ1 , ,ξ n ),记作 lim x = x 或 x → x (k →∞).
L k→∞
[注] 判断一个向量序列收敛等价于判断 n 个数列同时收敛.
1
2 2
用模刻划: n 中向量的模为 2
C x x = ( ξ1 + L + ξ n )
()k (k ) (k ) 2
lim x = x ⇔ limξ i = ξ i (i = 1,2, , n) ⇔ lim ξ i −ξ i = 0 (i = 1,2, ,n)
k→∞ k→∞ L k→∞ L
1
(k ) 2 (k ) 2 2 ()k
⇔ limξ1 −ξ1 + L+ ξ n −ξ n = 0 ⇔ lim x − x = 0
k→∞ k→∞
二、线性空间 V 的向量范数
线性空间 V,数域 K,∀x ∈V ,定义实数 x ,且满足
⑴ x ≥ 0; x = 0 ⇔ x = θ
⑵ kx = k x , ∀k ∈ K
⑶ x + y ≤ x + y , ∀y ∈V
称 x 为向量 x 的范数.
∆
例 1 欧氏空间V 中, x = x = (x, x) 是一种向量范数.
1
∆ n
p p
例 2 中, x = ξ 1 ≤ p < ∞是向量范数.
p ∑ i ()
i=1
证 o 略. o 略. o 设,则
1 2 3 x = (ξ1 ,L,ξ n ), y = (η1 ,L,ηn )
p = 1: x + y = ξ+η≤(ξ+ η) = x + y ;
1 ∑ i i ∑ i i 1 1
p > 1: x + y = θ时,结论成立; x + y ≠θ时,应用 Hölder 不等式
第二章范数理论及其应用 2
1 1
p p q q 1 1
ai bi ≤()ai ( bi ) ( p > 1, q > 1, + = 1)
∑∑∑ p q
可得(利用( p − 1)q = p )
p p−1
x + y p = ξ+ η= ξ+ ηξ+ η
( p ) ∑ i i ∑( i i i i )
p−1 p−1
≤∑ξ i ξ i + η i + ∑η i ξ i + η i
1 1 1 1
q q
p p p−1 q p p p−1 q
≤()ξ i ()ξ i + η i + ()η i ()ξ i + η i
∑∑∑∑
1 1
= x + y x + y p−1 = ⋅( p − 1)
( p p ) ( p )
q p
故 x + y ≤ x + y
p p p
因此,当 1 ≤ p < +∞时, x 是向量 x 的范数.
p
特例:1-范数 x = ξ
1 ∑ i
1
2
2-范数 x = ξ 2
2 ()∑ i
∆
∞-范数 x = lim x = maxξ i
∞ p→+∞ p i
证明上述极限式: x = θ时等式成立. x ≠θ时,设ξ i = maxξ i ,则有
0 i
1 1
p p p p 1
ξξ
x = ξ i , 1 ≤ i ≤ n p → 1
p i0 ∑ξ∑ξ
i0 i0
lim x = ξ i = maxξ i
p→+∞ p 0 i
容易验证 x = maxξ i 满足向量范数的三个条件,从而是向量范数.
∞ i
例线性空间 n 中,给定基,因为
3 V x1 ,L, xn
1−1
T n
x = ξ1 x1 + L+ ξ n xn ↔α= (ξ1 ,L,ξ n ) ∈ C
∆
所以 x = α是V n 中元素 x 的 p-范数.
p p
∆ 1
例 4 设 A∈ R n×n 对称正定,线性空间 R n 中, α= α T Aα 2 是向量范数.
A ()
第二章范数理论及其应用 3
证 1o 成立.
λ1
o 实对称正交矩阵使得 T
3 A ⇒∃